[論文レビュー] Vertex-algebraic structure of principal subspaces of the basic modules for twisted Affine Kac-Moody Lie algebras of type $A_{2n-1}^{(2)}, D_n^{(2)}, E_6^{(2)}$

Michael Penn, Christopher Sadowski|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$A_{2n-1}^{(2)}$、$D_n^{(2)}$、$E_6^{(2)}$ 型の twisted affine Kac-Moody Lie 代数の基本的モジュールに対する主部分空間の頂点代数的構成を、生成子と関係式を用いて行い、それらの多重次数付き次元に関する完全列と再帰関係を導出する。これらの再帰関係を解くことで、それぞれ $C_n$、$B_{n-1}$、$F_4$ の対称化 Cartan 行列から導かれる対称行列と $q$-Pochhammer 記号を含む和としての明示的公式が得られる。

ABSTRACT

We obtain a presentation of principal subspaces of basic modules for the twisted affine Kac-Moody Lie algebras of type $A_{2n-1}^{(2)}$, $D_n^{(2)}$ and $E_6^{(2)}$. Using this presentation, we construct exact sequences among these principal subspaces, and use these exact sequences to obtain recursions satisfied by graded dimensions of the principal subspaces. Solving these recursions, we obtain the graded dimensions of the principal subspaces.

研究の動機と目的

• Twisted affine Kac-Moody Lie 代数の $A_{2n-1}^{(2)}$、$D_n^{(2)}$、$E_6^{(2)}$ 型の基本的モジュールに対する主部分空間の頂点代数的表現を確立すること。
• 自然なシフト写像と消滅作用素を用いて、これらの主部分空間の間の完全列を構成すること。
• 主部分空間の多重次数付き次元の再帰関係を導出すること。
• これらの再帰関係を解き、$q$-級数を用いた明示的閉形式の次数付き次元を導出すること。

提案手法

• Dynkin 図形自己同型 $\nu$ を用いて、$A_{2n-1}^{(1)}$、$D_n^{(1)}$、$E_6^{(1)}$ 型の格子頂点 operator 代数 $V_L$ の twisted モジュール $V_L^T$ を構成する。
• 主部分空間 $W_L^T$ を、$V_L^T$ の最高重量ベクトルによって生成される $\overline{\mathfrak{n}}[\hat{\nu}]$-加群として定義する。
• 最高重量ベクトルを消滅させる自然な作用素を導入し、左イデアルを生成する。これらを用いて主部分空間の表現を定義する。
• イデアル間のシフト写像を構成し、主部分空間の間の完全列を確立する。
• 再帰関係 (1.1) および (1.2) を、$\nu\alpha_i = \alpha_i$ かどうかに応じて、多重次数付き特徴 $\chi'(\mathbf{x};q)$ の基に導出する。
• 再帰関係を $q$-Pochhammer 記号と、$C_n$、$B_{n-1}$、$F_4$ の対称化 Cartan 行列から導かれる行列形式を用いて解き、特徴式 (5.31) を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$A_{2n-1}^{(2)}$、$D_n^{(2)}$、$E_6^{(2)}$ 型の twisted affine Kac-Moody 代数の基本的モジュールに対する主部分空間を、頂点代数的枠組みにおいて生成子と関係式を用いて表現できるか？
• RQ2 自然なシフト写像と消滅作用素を用いて、これらの主部分空間の間にどのような完全列を構成できるか？
• RQ3 これらの主部分空間の多重次数付き次元を支配する再帰関係は何か？
• RQ4 これらの主部分空間の次数付き次元は、$q$-級数および Nahm 型の和とどのように関係しているか。特に分母に $(q^a; q^a)_{m_i}$ を含む場合にどうなるか？
• RQ5 主部分空間の多重次数付き特徴 $\chi'(\mathbf{x};q)$ の明示的閉形式表現は何か？

主な発見

• 主部分空間の多重次数付き次元は、$A_{2n-1}^{(2)}$ 型に対して $\chi'(\mathbf{x};q) = \sum_{\mathbf{m} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^n} \frac{q^{\frac{1}{2} \mathbf{m}^t A \mathbf{m}}}{(q^2;q^2)_{m_1} \cdots (q^2;q^2)_{m_n}} x_1^{m_1} \cdots x_n^{m_n}$ で与えられ、ここで $A$ は $C_n$ の対称化 Cartan 行列で、最後の行が 2 倍されている。
• $D_n^{(2)}$ 型に対しては、特徴は $\chi'(\mathbf{x};q) = \sum_{\mathbf{m} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{n-1}} \frac{q^{\frac{1}{2} \mathbf{m}^t A \mathbf{m}}}{(q^2;q^2)_{m_1} \cdots (q^2;q^2)_{m_{n-2}} (q;q)_{m_{n-1}}} x_1^{m_1} \cdots x_{n-1}^{m_{n-1}}$ であり、$A$ は $B_{n-1}$ の対称化 Cartan 行列で、最初の $n-2$ 行が 2 倍されている。
• $E_6^{(2)}$ 型に対しては、特徴は $\chi'(\mathbf{x};q) = \sum_{\mathbf{m} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^4} \frac{q^{\frac{1}{2} \mathbf{m}^t A \mathbf{m}}}{(q^2;q^2)_{m_1} (q;q)_{m_2} (q^2;q^2)_{m_3} (q^2;q^2)_{m_4}} x_1^{m_1} \cdots x_4^{m_4}$ であり、$A$ は $F_4$ の対称化 Cartan 行列で、最後の 2 行が 2 倍されている。
• シフトされた主部分空間 $W_L^{T,\gamma}$ の特徴は $\chi_j'(\mathbf{x};q)$ で、$\chi_j'(\mathbf{x};q) = \chi'(x_1, \dots, q^a x_j, \dots, x_k; q)$ を満たし、$a=2$ は $\nu\alpha_{i_j} = \alpha_{i_j}$ の場合、それ以外は $a=1$ である。
• 再帰関係 (1.1) および (1.2) が解かれ、明示的特徴式 (5.31) が得られ、これは Rogers-Ramanujan 型の恒等式を twisted affine 代数に一般化する。
• 得られた特徴は Nahm 和に類似しているが、分母に $(q^2; q^2)_{m_i}$ のような項が存在するため、本質的に異なる $q$-級数構造を示しており、Nahm 和ではない。