[論文レビュー] Vertex operators and 2-representations of quantum affine algebras

Sabin Cautis, Anthony Licata|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、量子ヘイセンベルク代数の2表現におけるカテゴリカルな頂点演算子——Grothendieck群において標準的な頂点演算子を回復する、特定の複体——を用いて、量子アフィン代数の2表現を構成する。主な貢献は、単純なルート系を持つ量子アフィン代数の基本表現のFrenkel-Kac-Segalの同型実現のカテゴリフィケーションを提供することであり、これは、A, D, E型のA型の代数的空間（ALE空間）のヒルベルトスキームの両立的コherent層の導来圏へのカテゴリカル作用を生じさせ、量子トロイダル代数へと拡張される。

ABSTRACT

We construct 2-representations of quantum affine algebras from 2-representations of quantum Heisenberg algebras. The main tool in this construction are categorical vertex operators, which are certain complexes in a Heisenberg 2-representation that recover vertex operators after passing to the Grothendieck group. As an application we categorify the Frenkel-Kac-Segal homogeneous realization of the basic representation of (simply laced) quantum affine algebras. This gives rise to categorical actions of quantum affine (and toroidal) algebras on derived categories of coherent sheaves on Hilbert schemes of points of ALE spaces.

研究の動機と目的

• 単純なルート系を持つ量子アフィン代数の基本表現のFrenkel-Kac-Segalの同型実現をカテゴリフィケーションすること。
• Grothendieck群において標準的な頂点演算子を誘導する、量子ヘイセンベルク代数の2表現における特定の複体としてのカテゴリカルな頂点演算子を構成すること。
• 量子ヘイセンベルク代数の2表現を、コherent層の導来圏上での量子アフィンおよびトロイダル代数の2表現へと拡張すること。
• 導来同値性を介して、量子群のカテゴリフィケーションとNakajima-Grojnowskiのクイバー多様体との幾何的関係を確立すること。
• Virasoro生成子を含む完全な頂点演算子代数の将来的なカテゴリフィケーションのための枠組みを提供すること。

提案手法

• カテゴリカルな頂点演算子は、量子ヘイセンベルク代数の2表現における特定の複体として定義され、ヘイセンベルク生成子に関連する関手から構成される。
• これらの複体は、Grothendieck群において量子アフィン代数生成子の交換関係を上昇させる関係を満たすことが示された。
• この構成は、量子アフィン代数のループ（Drinfeld）提示を用い、コンformal field theoryおよび低次元位相幾何学と整合する。
• カテゴリフィケーションされた作用は、A, D, E型のALE空間上の点のヒルベルトスキームの$\mathbb{C}^\times$-等化コherent層の導来圏上で実現された。
• この手法は、Nakajima-Grojnowskiのヘイセンベルク作用を導来圏を介して2表現に上げることに依存している。
• この枠組みは、量子トロイダル代数への拡張を可能とし、$\mathbb{C}^\times$-等化K理論の束縛層のモジュライ空間への、予想的な作用を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Frenkel-Kac-Segal構成における頂点演算子は、どのようにして量子アフィン代数の2表現をもたらすカテゴリフィケーションが可能か？
• RQ2 量子ヘイセンベルク代数の2表現におけるカテゴリカルな頂点演算子が有する構造は何か？
• RQ3 量子ヘイセンベルク代数の2表現は、完全な量子アフィン代数の2表現へと拡張可能か？
• RQ4 ヒルベルトスキームのALE空間上でのカテゴリフィケーションされたKac-Moody生成子$\mathsf{E}_i$および$\mathsf{F}_i$の幾何的解釈は何か？
• RQ5 $({\mathbb{C}^2}^{[n]})^\Gamma$および$\widehat{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[k]}$によるカテゴリフィケーションの間に導来同値性が存在するか？その場合、2表現の同値性が示唆されるか？

主な発見

• 本稿は、Grothendieck群において標準的な頂点演算子を誘導する、量子ヘイセンベルク代数の2表現における複体としてのカテゴリカルな頂点演算子を構成した。
• この構成により、A, D, E型のALE空間上の点のヒルベルトスキームの$\mathbb{C}^\times$-等化コherent層の導来圏上に、量子アフィン代数の2表現が得られた。
• カテゴリフィケーションされた作用は、量子トロイダル代数へと拡張され、$\mathbb{C}^\times$-等化K理論のランク1の束縛層のモジュライ空間への予想された作用を回復した。
• Kac-Moody生成子$\mathsf{E}_i$および$\mathsf{F}_i$は、$({\mathbb{C}^2}^{[n]})^\Gamma$カテゴリフィケーションにおいて明示的に記述されたが、ヘイセンベルク生成子$\mathsf{P}_i, \mathsf{Q}_i$は$\widehat{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[k]}$モデルにおいてより幾何的に明確に現れた。
• $({\mathbb{C}^2}^{[n]})^\Gamma$および$\widehat{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[k]}$による2つのカテゴリフィケーションは導来同値であり、2表現のより深い同値性を示唆する。
• 予想11.9は、サイクロトミックKLR代数$R^\Lambda_{Q,\lambda}$と代数$B'_\Gamma(n)$のモラータ同値性を提案し、代数的および幾何的カテゴリフィケーションを結びつける。