[論文レビュー] Vertex Operators and Moduli Spaces of Sheaves

Erik Carlsson|ArXiv.org|Jun 9, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、ベクトル束のチャーン類から得られる新しい幾何的K理論的構成により、層のモジュライ空間上で頂点演算子を構成し、Nekrasovの分配関数と直接的に関連付ける。この演算子の交換関係を活用することで、分配関数および相関関数のモジュラー性を導出し、モジュラー性と初期値から積分が完全に決定可能であることを示す。特に、自明でないcanonicalクラスを持つヒルベルトスキームのような状況において有効である。

ABSTRACT

The Nekrasov partition function in supersymmetric quantum gauge theory is mathematically formulated as an equivariant integral over certain moduli spaces of sheaves on a complex surface. In ``Seiberg-Witten Theory and Random Partitions'', Nekrasov and Okounkov studied these integrals using the representation theory of ``vertex operators'' and the infinite wedge representation. Many of these operators arise naturally from correspondences on the moduli spaces, such as Nakajima's Heisenberg operators, and Grojnowski's vertex operators. In this paper, we build a new vertex operator out of the Chern class of a vector bundle on a pair of moduli spaces. This operator has the advantage that it connects to the partition function by definition. It also incorporates the canonical class of the surface, whereas many other studies assume that the class vanishes. When the moduli space is the Hilbert scheme, we present an explicit expression in the Nakajima operators, and the resulting combinatorial identities. We then apply the vertex operator to the above integrals. In agreeable cases, the commutation properties of the vertex operator result in modularity properties of the partition function and related correlation functions. We present examples in which the integrals are completely determined by their modularity, and their first few values.

研究の動機と目的

• モジュライ空間上のベクトル束のチャーン類から新しい頂点演算子を構成し、幾何的かつK理論的基礎を与える。
• canonicalクラスが消えるという仮定を超えて、一般の複素表面へNekrasov-Okounkov手法を一般化する。
• 等置換積分を用いて、頂点演算子とNekrasov分配関数の直接的な関係を確立する。
• 新しい頂点演算子の交換関係を用いて、分配関数および相関関数のモジュラー性を導出する。
• 積分がモジュラー性と最初のいくつかの値から完全に決定可能であることを示す。特に、同意的状況において。

提案手法

• モジュライ空間のペア上のベクトル束のチャーン類を用いて頂点演算子を構成し、K理論的に幾何的に定義する。
• モジュライ空間がヒルベルトスキームである場合、新しい頂点演算子をNakajima演算子の形で明示的に表現する。
• 頂点演算子の交換性を用いて、分配関数および相関関数のモジュラー性を導出する。
• ヒルベルトスキーム上の等置換積分に頂点演算子を適用し、表面のcanonicalクラスを組み込む。
• 無限大ウェッジ表現およびヘイゼンベルグ代数構造を用いて生成関数を分析する。
• ベクトル値モジュラー形式およびSL(2,Z)の表現論を用いて、分配関数の変換性を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的K理論的頂点演算子を構成し、Nekrasov分配関数と直接的に関連付けることができるか？
• RQ2 この頂点演算子の交換関係は、分配関数のモジュラー性をどのように導くか？
• RQ3 分配関数は、そのモジュラー性と最初のいくつかの値から完全に決定可能か？
• RQ4 表面のcanonicalクラスは、分配関数の構成およびモジュラー性においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 この新しい頂点演算子は、canonicalクラスが消えるという仮定に基づく従来の結果をどのように一般化するか？

主な発見

• 新しい頂点演算子はK理論を用いた幾何的構成により得られ、表現論的定義よりもより一般的かつ基礎的な出発点を提供する。
• ヒルベルトスキームの場合、頂点演算子は明示的にNakajima演算子で表現され、新しい組合せ的恒等式が得られる。
• 頂点演算子の交換関係により、分配関数および相関関数にモジュラー性が生じる。
• 同意的状況では、分配関数はそのモジュラー性と最初のいくつかの値から完全に決定可能であり、例として$ Z_2^\nu(3,q) $が示された。
• $ Z_2^\nu(3,q)/(q;q)_\nu^8 \cdot \eta(\tau)^4\eta(2\tau)^2\eta(4\tau)^4 $ が $ \Gamma_1(4) $ に対して重さ5のモジュラー形式であることが示され、Eisenstein級数の線形結合と明示的に一致した。
• m が奇数のとき、ベクトル値関数 $ v_{k,m} $ は対角表現で変換し、モジュラー性が簡略化され、$ \Gamma_1(4) $ への拡張が可能になる。