[論文レビュー] Volume and Hilbert function of R-divisors

Mihai Fulger, Janós Kollár+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、固有かつ正則な代数的多様体上のR-線分束について、体積の等しさとヒルベルト関数の不変性の間の正確な同値性を確立する。大規模なR-線分束Dに対して、体積が有効R-線分束Eの加算または減算によって変わらないのは、EがZariski–Nakayama分解の負部に属する、あるいはそれぞれ、被覆的増加基底被覆に含まれるとき、かつそのときに限る。これらの結果は、R線形同値の下でヒルベルト関数が保存される条件を特徴づける。

ABSTRACT

If D is a big divisor and E is an effective divisor, then vol(D-E)<=vol(D)<=vol(D+E). We discuss when each inequality is an equality. Surprisingly, the answer is that the asymptotic equality vol(D-E)=vol(D) is equivalent to the equality of the Hilbert functions of D-E and D. The analogous result holds when vol(D)=vol(D+E).

研究の動機と目的

• 大規模なR-線分束のヒルベルト関数が、有効R-線分束Eの加算または減算によって不変となる条件を特定すること。
• R-線形同値の下で体積が有効R-線分束の摂動によって保存される条件を特徴づけること。
• R線形同値の文脈において、体積の等しさとヒルベルト関数の等しさの関係を明確にすること。
• 任意の完全体上の特異的で正則的かつ固有な多様体への古典的結果（体積および基底被覆）の拡張を行うこと。

提案手法

• 大規模なR-線分束Dの負部Nσ(D)を分析するために、Zariski–Nakayama分解（σ分解）を用いる。
• 1次元に特化したアーマンティックな線分束Aを用いた分解D = A + Eにおける交差を介して定義される、被覆的増加基底被覆B+div(D)の概念を適用する。
• 体積関数vol(D) = limsup_{m→∞} h⁰(mD)/(mⁿ/n!)を用いて、漸近的コホロジー成長と幾何的不変量を関連付ける。
• 変形および有理的モデルを用いて問題を滑らかかつ射影的多様体に還元し、体積および基底被覆の同次性とファンクターイリティを活用する。
• 負部の成分を検出するσ不変量σΓ(D)を用い、それを制限された基底被覆に関連付ける。
• FL13, BFJ09, Cut13b, Nak04の結果を応用して、コホロジー的および数値的同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効R-線分束Eの加算によってヒルベルト関数H(X,D)が不変となるのはいつか？
• RQ2 大規模なR-線分束Dに対して、vol(D − E) = vol(D)が成り立つようなEの幾何的条件は何か？
• RQ3 被覆的増加基底被覆B+div(D)は、摂動による体積およびコホロジーの保存性とどのように関係するか？
• RQ4 体積の等しさがヒルベルト関数の等しさを意味する場合、およびその逆に成り立つ場合の条件は何か？
• RQ5 σ分解とB+div(D)は、体積不変性を特徴づける上でどのように作用し合うか？

主な発見

• 大規模なR-線分束Dと有効Eに対して、vol(D − E) = vol(D)であるのは、E ≤ Nσ(D)、すなわちDのσ分解における負部にEが含まれるとき、かつそのときに限る。
• ヒルベルト関数H(X,D)がEの減算によって不変であるのは、E ≤ Nσ(D)であるときであり、これはすべてのR線形同値な線分束D′ ∼ℝ Dに対して一様に成り立つ。
• 体積がEの加算によって不変のまま保たれるためには、Supp(E) ⊆ B+div(D)、すなわちDの被覆的増加基底被覆の被覆的部分にSupp(E)が含まれることが必要かつ十分である。
• ヒルベルト関数H(X,D)がEの加算によって不変であるのは、Supp(E) ⊆ B+div(D)であるときであり、これはすべてのD′ ∼ℝ Dに対して一様に成り立つ。
• DがR-クリエイターかつネフであるとき、vol(D + E) = vol(D)が成り立つのはDⁿ⁻¹·E = 0のときのみであり、vol(D − E) = vol(D)が成り立つのはE = 0のときのみである。
• 結果はR線形同値類における代表元の選択に依存せず、体積およびヒルベルト関数の不変性がR線形類にのみ依存することを示している。