[論文レビュー] Weak calculus of variations for functionals of laws of semi-martingales

Ana Bela Cruzeiro, Rémi Lassalle|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連続半マルティングレルの分布関数に対する非予測的変分法を構築し、ハミルトンの最小作用の原理とネーターの定理を確率的設定に拡張する。確率的オイラー＝ラグランジュ条件を確立し、弱い正則性条件の下で半マルティングレル最適輸送問題における臨界点の不変量を同定する。

ABSTRACT

We develop a non-anticipating calculus of variations for functionals on a space of laws of continuous semi-martingales, which extends the classical one. We extend Hamilton's least action principle and Noether's theorem to this generalized stochastic framework. As an application we obtain, under mild conditions, a stochastic Euler-Lagrange condition and invariants for the critical points of recent problems in stochastic control, namely for the semi-martingale optimal transportation problems.

研究の動機と目的

• 連続半マルティングレルの分布関数に定義された汎関数に対する弱い変分法を定式化し、古典的変分法を拡張すること。
• 非予測的変分を用いて、臨界点が確率的作用関数の解として特徴づけられるように、ハミルトンの原理を確率的枠組みに拡張すること。
• ラグランジアンの対称性と保存則の関係を確率的力学に一般化し、保存則をマルティングレルの形で特定すること。
• 弱い条件の下で半マルティングレル最適輸送問題に応用し、臨界過程および不変量を同定すること。
• 確率的制御における相対エントロピーおよび同時周辺分布制約を含む変分問題の解の存在および一意性を確立すること。

提案手法

• 絶対連続な二次変動を持つ連続半マルティングレルの分布の空間 $\mathbb{S}$ を導入し、ドリフト $v_t^\nu$ およびボラティリティ $\alpha_t^\nu$ でパラメータ化する。
• 確率的オイラー＝ラグランジュ条件を $\partial_v \mathcal{L}_t(W_t, v_t^\nu, \alpha_t^\nu) - \int_0^t \partial_x \mathcal{L}_s(W_s, v_s^\nu, \alpha_s^\nu) ds = N_t^\nu$ として定義する。ここで $N^\nu$ は $\mathcal{F}_t^\nu$-マルティングレルである。
• ハミルトンの原理を拡張し、確率的作用関数 $\mathcal{S}(\nu) = \mathbb{E}_\nu[\int_0^1 \mathcal{L}_s(W_s, v_s^\nu, \alpha_s^\nu) ds]$ を定義し、非予測的変分を用いて臨界性を定義する。
• ギルサノフの定理およびクラーク＝オコーンの公式を用いてウィENER測度と同等の測度を特徴づけ、変分問題の解の構成を可能にする。
• 相対エントロピー $\mathcal{H}(\nu|\mu_{\nu_0}) = \mathbb{E}_\nu[\ln \frac{d\nu}{d\mu_{\nu_0}}]$ を用いて最小化問題を再定式化し、コンパクト性および強凸性を用いて最小化子の存在を証明する。
• フェインマン＝カックの公式および伊藤の補題を用いて、ナビエ＝ストークス方程式を満たすドリフトによって駆動されるSDEの解が、解クラス $G_V(\mathbb{R}^d)$ に属することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的変分法は、半マルティングレルの分布関数に定義された汎関数へどのように拡張可能か？
• RQ2 非予測的確率的枠組みにおいて、臨界点を特徴づける確率的オイラー＝ラグランジュ方程式の類似形は何か？
• RQ3 ラグランジアンに対するネーターの定理は確率的ラグランジアンに一般化可能か？ その関連保存則はどのような形をとるか？
• RQ4 半マルティングレル最適輸送における変分問題において、特に相対エントロピーを含む場合、最小化子が存在する条件は何か？
• RQ5 ラグランジアンの対称性に関する不変性を用いて、確率的制御問題の解を確率的オイラー＝ラグランジュ方程式で特徴づけることは可能か？

主な発見

• 確率的オイラー＝ラグランジュ条件は古典的条件を一般化する：$\nu = \delta_{q}$ で $q$ が $C^2$ 路であるとき、条件は古典的オイラー＝ラグランジュ方程式に還元される。
• 確率的作用関数 $\mathcal{S}(\nu)$ の臨界点は、マルティングレル項 $N_t^\nu$ を含む確率的オイラー＝ラグランジュ条件によって特徴づけられる。
• ラグランジアン $\mathcal{L}^0 = \frac{|v|^2}{2}$ の場合、固定された初期および終端分布の下で相対エントロピー $\mathcal{H}(\nu|\mu_{\nu_0})$ の最小化子は一意的であり、$\mathbb{S}_B \cap \mathbb{S}_\gamma$ に属する。
• エントロピー最小化問題の解 $\nu^\star$ は $\mathcal{H}(\nu^\star|\mu_{\nu_0}) = \mathbb{E}_\nu[\int_0^1 \frac{|v_s^\nu|^2}{2} ds]$ を満たし、確率的制御とエネルギー最小化を結びつける。
• 標準ブラウン運動ラグランジアンに対しても、$W_0$ および $W_1$ の同じ同時分布と有限エントロピーを持つ $G_0(\mathbb{R})$ 内に複数の測度が存在し、一意性の欠如を示す。
• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の解がドリフト $u$ を生成し、その結果としてギルサノフ変換された測度 $\nu$ は、ポテンシャル $V = p(1-t,x)$ を用いた確率的オイラー＝ラグランジュ条件を満たす。