[論文レビュー] Weak Functional Itô Calculus and Applications

Alberto Ohashi, Dorival Leão+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 51被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、多次元ブラウン運動フィルトレーションにおける適応過程の弱い関数的イト微積分を構築する。マルコフ性の代わりに、制御されたマルティンゲールのジャンプを用いた有限次元近似を導入する。ウィーナー関数への基本的な微積分法則を確立し、ゼロの確率的微分を非マルコフ型の2階微分作用素として同定し、非準マーティンググレット型最適停止問題における変分原理および動的計画法の適用を可能にする。

ABSTRACT

We introduce a variational theory for processes adapted to the multi-dimensional Brownian motion filtration. The theory provides a differential structure which describes the infinitesimal evolution of Wiener functionals at very small scales. The Markov property is replaced by a finite-dimensional approximation procedure based on controlled inter-arrival times and jumps of approximating martingales. The theory reveals that a large class of adapted processes follow a differential rule which is similar in nature to a fundamental theorem of calculus in the context of Wiener functionals. Null stochastic derivative term turns out to be a non-Markovian version of the classical second order parabolic operator and connections with theory of local-times and $(p,q)$-variation regularity are established. The framework extends the pathwise functional calculus and it opens the way to obtain variational principles for processes. Applications to semi-linear variational equations and stochastic variational inequalities are presented. In particular, we provide a feasible dynamic programming principle for fully non-Markovian/non-semimartingale optimal stopping problems.

研究の動機と目的

• 多次元ブラウン運動フィルトレーションにおける適応過程のための変分法的微積分を構築すること。
• マルコフ性を、制御された到着間隔とマルティンゲールのジャンプを用いた有限次元近似に置き換えること。
• ウィーナー関数への微小スケールにおける微分構造を確立し、微分積分学の基本定理に類似した形で記述すること。
• ゼロの確率的微分を、古典的2階放物型作用素の非マルコフ型アナログとして同定すること。
• 経路に沿った関数的微積分を拡張し、確率過程における変分原理を可能にすること。

提案手法

• 制御された到着間隔を用いたフィルトレーションの有限次元近似を通じて、適応過程の微分構造を形式化する。
• ジャンプを伴う近似マルティンゲールを用いて、ウィーナー関数の無限小的変化をモデル化する。
• 経路に沿った手法を一般化し、非準マーティングレット型過程を扱える弱い関数的イト微積分を定義する。
• 非マルコフ型2階微分作用素に対応する「ゼロの確率的微分」項を導入する。
• 微積分と局所時刻、および (p,q)-変動正則性との関係を確立する。
• この枠組みを用いて、半線形方程式および確率的変分不等式に対する変分原理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非マルコフ型ウィーナー関数への微分積分学の基本定理は、どのように定式化できるか？
• RQ2 ゼロの確率的微分は非マルコフ型設定において果たす役割は何か？また、古典的2階作用素とどのように関係するか？
• RQ3 準マーティングレット型でない過程に対しても、変分原理を導出できるか？
• RQ4 完全に非マルコフ型の最適停止問題に対して、動的計画法をどのように定式化できるか？
• RQ5 提案された微積分と局所時刻、または (p,q)-変動正則性との関係は何か？

主な発見

• 弱い関数的イト微積分は、非マルコフ的文脈において古典的イットの公式を一般化するウィーナー関数への微分法則を提供する。
• ゼロの確率的微分項は、古典的2階放物型作用素の非マルコフ型アナログに対応する。
• この枠組みにより、半線形確率的方程式に対する変分原理の導出が可能になる。
• 確率的変分不等式が、この微積分枠組み内で解析可能であることが示された。
• 完全に非マルコフ的かつ非準マーティングレット型の最適停止問題に対し、実行可能な動的計画法の原理が確立された。
• 局所時刻および (p,q)-変動正則性との関係が形式的に確立され、微積分の解析的構造が豊かに拡張された。