[論文レビュー] Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part II: nerves of complicial Gray-categories

Dominic Verity|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、弱複素的集合の圏におけるグレイテンソル積を用いて、弱複素的集合に値をとる豊かさを持つ複素的グレイ圏——つまり、弱複素的集合に豊かに拡張された圏——を導入し、それらを弱複素的集合の圏へ忠実に埋め込む神経関手を構成する。主な貢献は、いかなるこのような圏の神経的集合が弱複素的集合であることを示し、弱複素的集合のすべての小さな圏が、この神経構成により、大きな、豊かな構造を持つ弱複素的集合として得られることを示したことである。

ABSTRACT

This paper continues the development of a simplicial theory of weak omega-categories, by studying categories which are enriched in weak complicial sets. These complicial Gray-categories generalise both the Kan complex enriched categories of homotopy theory and the Gray-categories of weak 3-category theory. We derive a simplicial nerve construction, which is closely related to Cordier and Porter's homotopy coherent nerve, and show that this faithfully represents complicial Gray-categories as weak complicial sets. The category of weak complicial sets may itself be canonically enriched to a complicial Gray-category whose homsets are higher generalisations of the bicategory of homomorphisms, strong transformations and modifications. By applying our nerve construction to this structure, we demonstrate that the totality of all (small) weak complicial sets and their structural morphisms at higher dimensions form a richly structured (large) weak complicial set.

研究の動機と目的

• グレイ圏の古典的理論を、弱オメガ圏の高次元版に一般化するため、弱複素的集合に値をとるグレイテンソル積に関する豊かさを持つ複素的グレイ圏を導入すること。
• コルディエとポーターによるホモトピー的整合神経関手の構成を、複素的グレイ圏の文脈に拡張すること。
• 神経構成が複素的グレイ圏を弱複素的集合として忠実に表現することを示し、その結果、このような圏の圏が弱複素的集合の圏へ埋め込まれることを示すこと。
• すべての小さな弱複素的集合およびそれらの高次モルフィズムの全体が、神経関手を用いて、大きな、豊かな構造を持つ弱複素的集合として得られることを示すこと。
• 弱複素的集合がややきつい薄い単体条件を満たす場合、それが複素的グレイ圏の神経的集合とホモトピー同値であることを示すことで、将来の整合性定理の基礎を築くこと。

提案手法

• ストラティファイド単体的集合のグレイテンソル積を用いて、弱複素的集合に値をとる豊かさを持つ圏として複素的グレイ圏を定義する。
• コルディエとポーターの単体的圏の神経関手を、豊かさのある設定に一般化し、ホモトピー的整合神経関手を適応する。
• 先行研究における複素的ファイブレーションに関する結果を用いて、内的ホーン埋め込みおよび薄い構造条件を検証することで、複素的グレイ圏の神経的集合が弱複素的集合であることを証明する。
• 複素的グレイ圏間の局所的複素的ファイブレーションが、それらの神経的集合上で内的複素的ファイブレーションを誘導することを確立し、神経関手が重要なホモトピー的構造を保存することを保証する。
• 内部ホムおよびグレイテンソル積構造を用いて、弱複素的集合の圏を、大きな複素的グレイ圏として構成する。
• この大きな圏に神経関手を適用することで、すべての小さな弱複素的集合およびそれらの高次モルフィズムを符号化する弱複素的集合が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的グレイ圏およびその高次元版は、弱複素的集合の枠組み内でどのように一般化できるか？
• RQ2 弱複素的集合に値をとる圏に対して、グレイテンソル積に関するホモトピー的整合神経関手を拡張することは可能か？
• RQ3 複素的グレイ圏の神経的集合は弱複素的集合となるか？ また、この神経関手は完全に忠実か？
• RQ4 すべての小さな弱複素的集合の圏は、神経関手を用いて豊かな高次圏的構造を備えることができるか？
• RQ5 弱複素的集合が、ある種の薄い単体条件を満たす場合、それが複素的グレイ圏の神経的集合とホモトピー同値であるための条件は何か？

主な発見

• 任意の複素的グレイ圏の神経的集合は弱複素的集合である。これは、このような圏の圏が弱複素的集合の圏へ忠実に埋め込まれることを確立する。
• 神経関手は局所的複素的ファイブレーションを保存する。つまり、複素的グレイ圏間の関手が局所的複素的ファイブレーションであれば、その神経的集合は内的複素的ファイブレーションである。
• 小さな弱複素的集合の圏は、内部ホムを用いた自然な複素的グレイ圏構造を備えることができる。
• この大きな複素的グレイ圏に神経関手を適用することで、すべての小さな弱複素的集合およびそれらの高次モルフィズムを符号化する大きな弱複素的集合が得られる。
• 得られる大きな弱複素的集合は、任意の有限 n に対して n-非自明ではないため、豊かで退化のない高次圏的構造を示している。
• この構成は、最終的な整合性定理の目標を支援する。すなわち、ややきつい薄い単体条件を満たす弱複素的集合は、同じ条件を満たす複素的グレイ圏の神経的集合とホモトピー同値である。