[論文レビュー] Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part I: basic homotopy theory

Dominic Verity|ArXiv.org|Apr 19, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、弱複素的集合—Kan複体、擬カテゴリ、厳密なオメガカテゴリを一般化する—をファイブランツ対象とする、分類された単体的集合のクイレンモデル構造を確立する。弱オメガカテゴリの基礎的ホモトピー理論を、ジョイン、グレイテンソル積、およびアノイジン拡張を導入することで構築し、ジョーラの擬カテゴリ用モデル構造を独立に再構成する結果を得る。

ABSTRACT

This paper develops the foundations of a simplicial theory of weak omega-categories, which builds upon the insights originally expounded by Ross Street in his 1987 paper on oriented simplices. The resulting theory of weak complicial sets provides a common generalisation of the theories of (strict) omega-categories, Kan complexes and Joyal's quasi-categories. We generalise a number of results due to the current author with regard to complicial sets and strict omega-categories to provide an armoury of well behaved technical devices, such as joins and Gray tensor products, which will be used to study these the weak omega-category theory of these structures in a series of companion papers. In particular, we establish their basic homotopy theory by constructing a Quillen model structure on the category of stratified simplicial sets whose fibrant objects are the weak complicial sets. As a simple corollary of this work we provide an independent construction of Joyal's model structure on simplicial sets for which the fibrant objects are the quasi-categories.

研究の動機と目的

• 単体的技法を用いて弱オメガカテゴリのホモトピー的枠組みを構築すること。
• 厳密なオメガカテゴリ、Kan複体、ジョーラの擬カテゴリを一つの理論、すなわち弱複素的集合として一般化すること。
• 分類された単体的集合の圏にクイレンモデル構造を確立し、弱複素的集合をファイブランツ対象とする。
• 高次カテゴリ理論のための技術的ツール—ジョイン、グレイテンソル積、アノイジン拡張—を提供すること。
• ジョーラの擬カテゴリ用モデル構造を特殊な場合として回復し、独立した構成を提供すること。

提案手法

• 単体的集合に「薄い（マークされた）単体」の特別な集合を備えることで、分類された単体的集合を導入する。
• 一般化されたホーンに対する弱い一意的埋め込み条件により、弱複素的集合を定義し、複素的集合の「一意性」要件を緩和する。
• 増分単体的集合とデカルージュを用いて、分類された集合のジョインを構成し、高次元の合成を可能にする。
• 分類された集合のグレイテンソル積を構築し、高次カテゴリにおけるラックス可換性をモデル化する。
• アノイジン拡張を特定し、それを用いてファイブレーションを定義することで、クイレンモデル構造を導く。
• ジェフリー・スミスの定理を適用し、分類された単体的集合の圏にクイロン生成モデル構造を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱オメガカテゴリの単体的理論を、厳密なオメガカテゴリと擬カテゴリの両方を一般化する形でどのように構築できるか？
• RQ2 分類された単体的集合にどのような条件を課すと、良好なホモトピー理論が得られるか？
• RQ3 グレイテンソル積とジョイン演算を、分類された集合上で組合せ的に定義できるか。その結果、高次元の合成をモデル化できるか？
• RQ4 弱複素的集合とジョーラの擬カテゴリの関係は何か。また、ジョーラのモデル構造を独立に回復できるか？
• RQ5 弱複素的集合をファイブランツ対象とし、良好なホモトピー的性質を持つ、分類された単体的集合のモデル構造は何か？

主な発見

• 分類された単体的集合の圏にクイレンモデル構造が構成され、弱複素的集合がファイブランツ対象として実現される。
• モデル構造はクイロン生成であり、モノイダルであり、グレイテンソル積はファイブレーションおよび正則ファイブレーションを保存する。
• 弱同値のクラスは再帰的であり、2-of-3性質を満たしており、良好なホモトピー理論を保証する。
• モデル構造におけるファイブランツ対象は、まさに弱複素的集合であり、Kan複体と擬カテゴリを一般化する。
• 系として、ファイブランツ対象が擬カテゴリであるジョーラの単体的集合上のモデル構造が独立に再構成される。
• ジョインとテンソル積の明示的構成を含み、組合せ的に取り扱いやすい高次カテゴリ理論の枠組みが提供される。