[論文レビュー] Weak mixing directions in non-arithmetic Veech surfaces

Artur Avila, Vincent Delecroix|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$ n \neq 3,4,6 $ の辺をもつ正多角形におけるビリヤード流れが、ほとんどすべての不変面において弱混合であることを確立し、力学系分野における長年の未解決問題を解決した。テイコフラー理論およびコンツェビッチ＝ゾリッチコサイクルの高度な技術を用いて、非弱混合方向の集合のハウスドルフ次元が1未満であることを示し、それが正であっても常にそうである。さらに、このような方向が正の次元をもつための必要条件を特定し、五角形の表面においてその条件を検証した。

ABSTRACT

We show that the billiard in a regular polygon is weak mixing in almost every invariant surface, except in the trivial cases which give rise to lattices in the plane (triangle, square and hexagon). More generally, we study the problem of prevalence of weak mixing for the directional flow in an arbitrary non-arithmetic Veech surface, and show that the Hausdorff dimension of the set of non-weak mixing directions is not full. We also provide a necessary condition, verified for instance by the Veech surface corresponding to the billiard in the pentagon, for the set of non-weak mixing directions to have positive Hausdorff dimension.

研究の動機と目的

• 正多角形（三角形、正方形、六角形を除く）におけるビリヤード流れが、ほとんどすべての不変面において弱混合であるかどうかという、長年の未解決問題を解消すること。
• 非算術的ヴェーチ表面における非弱混合方向の出現頻度と幾何的構造を理解すること。
• 非弱混合方向の集合が正のハウスドルフ次元をもつための必要条件を確立し、五角形のような表面に適用可能であることを示すこと。
• 一般状況を超えて、正多角形ビリヤードのような高次元対称的・剛体系へ弱混合性の結果を拡張すること。

提案手法

• モジュライ空間における $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$-作用と関連するコンツェビッチ＝ゾリッチコサイクルを用いて、移行表面における方向付き流れを分析する。
• 群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})/\Gamma$ 上の測地線流れに対するマルコフモデルを適用し、コサイクルの挙動における再帰性と大偏差を制御する。
• トンネル曲線と固有関数を用いた双対的ヴェーチ基準を用いて、非弱混合方向を検出する。
• 大偏差推定と異常なリャプノフ指数の振る舞いを用いた動的アプローチにより、例外集合のハウスドルフ次元を評価する。
• Salem元を用いた三角群における非弱混合方向の明示的例を構成し、Sageを用いた計算代数により検証する。
• ホロノミー体とヴェーチ群の共轭に関する結果を応用し、例外的方向における固有値の代数的構造を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正多角形で $ n \neq 3,4,6 $ の場合、$ n $-角形におけるビリヤード流れは、ほとんどすべての不変面において弱混合であるか？
• RQ2 非算術的ヴェーチ表面における非弱混合方向の集合のハウスドルフ次元はいかほどか？
• RQ3 非弱混合方向の集合が正のハウスドルフ次元をもつための必要代数的条件を特定できるか？
• RQ4 五角形ヴェーチ表面は非弱混合方向を有するか？ もしあるならば、その集合の構造はどのようなものか？
• RQ5 スペクトル論、テイコフラー力学、ディオファントス近似の性質の間の相互作用が、例外的方向における固有関数の存在をどのように制限するか？

主な発見

• $ n \neq 3,4,6 $ の場合、正 $ n $-角形におけるビリヤード流れは、ほとんどすべての不変面において弱混合であり、重要な未解決問題が解決された。
• 任意の非算術的ヴェーチ表面における非弱混合方向の集合のハウスドルフ次元は、正であっても1未満である。
• 非弱混合方向の集合が正のハウスドルフ次元をもつための必要条件が特定され、ヴェーチ群にSalem元が存在することを含む。
• その条件は正五角形に関連するヴェーチ表面において検証され、その非弱混合方向が正の次元をもつ可能性が確認された。
• Salem元を用いた非弱混合方向の明示的例が、三角群 $ \Delta(2,q,\infty) $ および $ \Delta(q,\infty,\infty) $ において構成され、最小多項式は計算代数により算出された。
• Sage計算を用いて、$ \Delta(2,q,\infty) $ に対して $ q=17 $ まで、$ \Delta(q,\infty,\infty) $ に対して $ q=16 $ まで、そのようなSalem元を完全に分類した。