[論文レビュー] Weighted equilibrium states for factor maps between subshifts

De‐Jun Feng|ArXiv.org|Sep 23, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、弱適合性のもとで、部分符号系間の因子写像に対して重み付き平衡状態の存在および一意性を確立し、古典的平衡状態理論を一般化する。連続関数 $ f $ が弱適合性を満たす部分符号系 $ X $ 上にあり、因子写像 $ \pi: X \to Y $ があるとき、$ \mu(f) + a_1 h_\mu(\sigma_X) + a_2 h_{\mu \circ \pi^{-1}}(\sigma_Y) $ を最大化する唯一の不変測度が存在することを証明し、Gatzouras と Peres が提起した重み付きエントロピー最大化に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Let $π:X o Y$ be a factor map, where $(X,σ_X)$ and $(Y,σ_Y)$ are subshifts over finite alphabets. Assume that $X$ satisfies weak specification. Let $\ba=(a_1,a_2)\in \R^2$ with $a_1>0$ and $a_2\geq 0$. Let $f$ be a continuous function on $X$ with sufficient regularity (Hölder continuity, for instance). We show that there is a unique shift invariant measure $μ$ on $X$ that maximizes $μ(f)+a_1h_μ(σ_X)+ a_2h_{μ\circ π^{-1}}(σ_Y)$. In particular, taking $f\equiv 0$ we see that there is a unique invariant measure $μ$ on $X$ that maximizes the weighted entropy $a_1h_μ(σ_X)+ a_2h_{μ\circ π^{-1}}(σ_Y)$. This answers an open question raised by Gatzouras and Peres in \cite{GaPe96}. An extension is also given to high dimensional cases. As an application, we show the uniqueness of invariant measures with full Hausdorff dimension for certain affine invariant sets on the $k$-torus under a diagonal endomorphism.

研究の動機と目的

• 因子写像による部分符号系間の重み付きエントロピー $ h_\mu(\sigma_X) + \alpha h_{\mu \circ \pi^{-1}}(\sigma_Y) $ を最大化する不変測度の一意性を解明すること。
• 因子写像を通じて複数の部分符号系における測度論的エントロピーの重み付き組み合わせに拡張された平衡状態理論を構築すること。
• 連続ポテンシャルと複数のエントロピー項の組み合わせを含む関数を最大化する唯一の不変測度が存在する条件を確立すること。
• 結果をトーラス上でのアフィン不変集合のフルハウスドルフ次元を持つ不変測度の一意性への応用に適用すること。

提案手法

• 部分和の有界変動性をもつ関数のクラス $ V(\sigma_{X_1}) $ を用いて、関連する部分加法的ポテンシャルの正則性を保証する。
• 区間集合上での関数 $ \phi $ の構成により、重み付き平衡状態問題を部分加法的ポテンシャル枠組みに還元する。ここで $ \phi(I) = \sup_{x \in [I]} \exp(S_n f(x)) $ である。
• 因子写像の鎖 $ X_1 \to X_2 \to \cdots \to X_k $ における再帰的帰納法を用い、各段階で重み付き平衡状態の存在および一意性を証明する。
• 高次ブロック表現を用いて一般の因子写像を1ブロック写像に還元し、弱適合性を保ちながら解析を単純化する。
• 変分原理を用いて、重み付きトポロジカル圧力を重み付きエントロピー関数の上界と関連付ける。
• 弱適合性の性質を用いて、測度の再帰性に関する混合型下界を確立し、最大化測度の一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分符号系 $ X $ が弱適合性を満たす因子写像 $ \pi: X \to Y $ に対して、重み付きエントロピー $ a_1 h_\mu(\sigma_X) + a_2 h_{\mu \circ \pi^{-1}}(\sigma_Y) $ を最大化する唯一の不変測度が存在するか？
• RQ2 Bowen の古典的平衡状態の一意性結果は、因子写像を通じたエントロピーの重み付き組み合わせへと拡張可能か？
• RQ3 弱適合性を満たす部分符号系上に、連続ポテンシャルと複数の因子系からのエントロピー項の組み合わせを含む関数を最大化する唯一の不変測度が存在するか？
• RQ4 重み付き平衡状態の一意性は、トーラス上での自己相似集合に対してフルハウスドルフ次元を持つ不変測度の一意性を示唆するか？
• RQ5 $ k \geq 2 $ 個の部分符号系とそれらの間の因子写像の鎖に対して、理論を拡張可能か？

主な発見

• 任意の $ f \in V(\sigma_{X_1}) $ および $ \mathbf{a} = (a_1, \dots, a_k) $ に対して $ a_1 > 0 $、$ a_i \geq 0 $ が成り立つとき、$ \mu(f) + \sum_{i=1}^k a_i h_{\mu \circ \tau_{i-1}^{-1}}(\sigma_{X_i}) $ を最大化する唯一の $ \mathbf{a} $-重み付き平衡状態 $ \mu $ が存在する。
• 唯一の平衡状態 $ \mu $ はエルゴディックであり、可測集合の再帰性に関して一様な下界を満たす：ある $ c > 0 $ に対して $ \liminf_{n \to \infty} \sum_{i=0}^p \mu(A \cap \sigma^{-n-i} B) \geq c \mu(A)\mu(B) $ が成り立つ。
• もし $ X_1 $ が適合性（弱適合性より強い条件）を満たすならば、$ \mu $ はより強い混合型下界 $ \liminf_{n \to \infty} \mu(A \cap \sigma^{-n} B) \geq c \mu(A)\mu(B) $ を満たす。
• $ f \equiv 0 $ のとき、重み付きエントロピー $ \sum_{i=1}^k a_i h_{\mu \circ \tau_{i-1}^{-1}}(\sigma_{X_i}) $ を最大化する唯一の測度が存在し、Gatzouras と Peres の未解決問題を解決する。
• 結果は、対角自己準同型の下での $ k $-トーラス上での自己相似Sierpinskiスポンジに適用可能であり、フルハウスドルフ次元を持つ不変測度の一意性を保証する。
• 1方向および2方向の部分符号系の両方へ、1方向への射影と標準的符号写像 $ \Gamma_i $ を通じた測度の転送を用いることで、理論を拡張できる。