[論文レビュー] Weighted Persistent Homology Sums of Random \v{C}ech Complexes

Benjamin Schweinhart|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、測度空間上でのi.i.d.標本から構築されるランダムなČech複体における重み付き恒続ホモロジー和の漸近的挙動を確立する。均一に抽出された点がm次元球面または球体上にある場合、i次元恒続ホモロジー区間のα重み付き和は、期待値においてn^{(m−α)/m}に比例する。確率的にタイトな境界が得られ、これは古典的な最小全域木に関する結果を高次元の位相的特徴へ一般化するものである。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of random variables of the form \\begin{equation*} E_{\\alpha}^i\\left(x_1,\\ldots,x_n\ ight)=\\sum_{\\left(b,d\ ight)\\in \\mathit{PH}_i\\left(x_1,\\ldots,x_n\ ight)} \\left(d-b\ ight)^{\\alpha} \\end{equation*} where $\\left\\{x_j\ ight\\}_{j\\in\\mathbb{N}}$ are i.i.d. samples from a probability measure on a triangulable metric space, and $\ extit{PH}_i\\left(x_1,\\ldots,x_n\ ight)$ denotes the $i$-dimensional reduced persistent homology of the \\v{C}ech complex of $\\left\\{x_1,\\ldots,x_n\ ight\\}.$ These quantities are a higher-dimensional generalization of the $\\alpha$-weighted sum of a minimal spanning tree; we seek to prove analogues of the theorems of Steele (1988) and Aldous and Steele (1992) in this context. As a special case of our main theorem, we show that if $\\left\\{x_j\ ight\\}_{j\\in\\mathbb{N}}$ are distributed independently and uniformly on the $m$-dimensional Euclidean sphere, $\\alpha<m,$ and $0\\leq i <n,$ then there are real numbers $\\gamma$ and $\\Gamma$ so that \\begin{equation*} \\gamma \\leq \\lim_{n\ ightarrow\\infty} n^{-\\frac{m-\\alpha}{m}} E_i^{\\alpha}\\left(x_1,\\ldots,x_n\ ight) \\leq \\Gamma \\end{equation*} in probability. More generally, we prove results about the asymptotics of the expectation of $E_\\alpha^i$ for points sampled from a locally bounded probability measure on a space that is the bi-Lipschitz image of an $m-$dimensional Euclidean simplicial complex, as well as measures supported on sets of fractional dimension that respect box counting.

研究の動機と目的

• 恒続ホモロジーを用いて、最小全域木に関する古典的確率的結果を高次元位相的特徴へ一般化すること。
• ランダムなČech複体における恒続ホモロジー区間のα重み付き和の漸近的挙動を分析すること。
• コンpactかつ局所有界測度を有するm次元空間からの標本抽出において、これらの和のほとんど確実かつ確率的収束境界を確立すること。
• 既知の恒続ホモロジーの極値境界を、明示的なスケーリング則を伴う確率的設定へ拡張すること。

提案手法

• 重み付き恒続ホモロジー和を $ E_{\beta}^{i} = \sum_{(b,d) \in \mathrm{PH}_i} (d-b)^\alpha $ として定義し、最小全域木重みを一般化する。
• 恒続ホモロジーの双リプシッツ不変性を用いて、曲がった多様体上での標本抽出をユークリッドモデルと関連付ける。
• 確率的集中評価とポアソン近似を用いて、所定の寿命帯に属する区間の数を制御する。
• 小さな球体内の体積推定とポアソン過程との比較により、下界および上界を導出する。
• 双リプシッツ写像におけるインタレーブリング補題を用いて、ユークリッド空間から一般のm次元測度空間への結果の転送を行う。
• Cohen-Steinerらの結果（$ \alpha > m $ のとき $ E_{\alpha}^{i} $ が一様有界）を用いて上界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m次元球面上のランダムなČech複体における恒続ホモロジー区間のα重み付き和の漸近的スケーリングは何か？
• RQ2 $ \alpha < m $ のとき、 $ \lim_{n \to \infty} n^{-(m-\alpha)/m} E_{\alpha}^{i}(x_1,\dots,x_n) $ の極限は存在し、確率的に有界であるか？
• RQ3 $ \mathbb{R}^m $ における最小全域木に関する古典的結果と比較して、球面上または球体内での $ E_{\alpha}^{i} $ の挙動はどのように異なるか？
• RQ4 $ i=0 $ を超えて、$ E_{\alpha}^{i} $ のスケーリング則を高次元ホモロジー群へ拡張できるか？
• RQ5 $ n \to \infty $ のとき、全寿命恒続性 $ E_{m}^{i} $ の挙動はいかなるものか？

主な発見

• i.i.d.均一標本がm次元球面上にある場合、 $ \alpha < m $ に対して確率的に $ \gamma \leq \lim_{n \to \infty} n^{-(m-\alpha)/m} E_{\alpha}^{i} \leq \Gamma $ が成り立ち、定数 $ \gamma, \Gamma $ は $ \alpha $ と測度に依存する。
• m次元ユークリッド球体内では、同じスケーリングが期待値において成り立つ： $ \gamma \leq \lim_{n \to \infty} n^{-(m-\alpha)/m} \mathbb{E}[E_{\alpha}^{i}] \leq \Gamma $ であり、下界は確率的にも成り立つ。
• $ \alpha = m $ のとき、全寿命恒続性は $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log n} \mathbb{E}[E_{m}^{i}] \leq D $ が確率的に成り立ち、ある有限な $ D $ が存在する。
• 下界はポアソン近似による議論により確立され、ある $ \gamma' > 0 $ に対して $ \lim_{n \to \infty} n^{-(m-\alpha)/m} E_{\alpha}^{i} \geq \gamma' $ が確率的に成り立つ。
• 双リプシッツ写像の下での恒続ホモロジーのインタレーブリング補題を用いて、m次元単体的複体の局所有界測度を有する像上への結果の拡張が可能である。
• 本稿は、Steinの最小全域木に関する定理およびAldous–Steeleの $ L^2 $ 収束を高次元恒続ホモロジーへ一般化し、位相的データ解析における新たなスケーリング則のクラスを確立する。