[論文レビュー] Well-posedness and numerical schemes for McKean-Vlasov equations and interacting particle systems with discontinuous drift.

Gunther Leobacher, Christoph Reisinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、1次元のMcKean-Vlasov SDEおよび不連続な勾配を伴う相互作用粒子系について、弱い拡散係数および構造的勾配-測度依存性の条件下で適切に定義されていることを確立する。実装可能なEuler-Maruyamaスキームを導入し、強い収束結果を得たが、勾配の不連続性のため、標準的な1/2収束率には達しない。

ABSTRACT

In this paper, we first establish well-posedness results of McKean-Vlasov stochastic differential equations (SDEs) and related particle systems with a drift coefficient that is discontinuous in the spatial component. The analysis is restricted to the one-dimensional case, and we only require a fairly mild condition on the diffusion coefficient, namely to be non-zero in a point of discontinuity, while we need to impose certain structural assumptions on the measure-dependence of the drift. Second, we study fully implementable Euler-Maruyama-type schemes for the particle system to approximate the solution of the McKean-Vlasov SDEs. Here, we will prove strong convergence results in terms of number of time-steps and number of particles. Due to the discontinuity of the drift, the convergence analysis is non-standard and the usual $1/2$ strong convergence order known for the Lipschitz case cannot be recovered for all presented schemes.

研究の動機と目的

• 1次元における不連続勾配を伴うMcKean-Vlasov SDEの適切な定義を扱う。
• そのようなMcKean-Vlasov SDEを近似する相互作用粒子系を分析する。
• 粒子系の完全に実装可能な数値スキームを構築し、収束保証を付与する。
• 不連続勾配が収束解析に与える課題を克服し、標準的な1/2収束率が成立しない理由を解明する。
• 非標準的な条件下で、時間刻みと粒子数の両面から強い収束結果を確立する。

提案手法

• 勾配の測度依存性に構造的仮定を設けることで、不連続性が存在しても適切な定義が保証されることを確認する。
• 勾配の不連続点において拡散係数がゼロでないことを要請することで、正則性が維持されることを保証する。
• 明示的な時間刻みと粒子ベースの勾配評価を用いた、粒子系におけるEuler-Maruyama型スキームを構築する。
• 不連続勾配に特化した非標準的な収束解析技術を適用し、標準的なリプシッツ仮定を避ける。
• カップリングとモーメント推定を用いて、粒子系とMcKean-Vlasov極限との間の誤差を評価する。
• 時間刻みの大きさと粒子数の相互作用に依存する収束速度を確立するが、古典的1/2次に達しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元における不連続勾配を伴うMcKean-Vlasov SDEは、どのような条件下で適切に定義されるか？
• RQ2 解の分布に依存する勾配の構造が、適切な定義にどのように影響を与えるか？
• RQ3 粒子系近似に対して完全に実装可能なEuler-Maruyamaスキームを構築できるか？
• RQ4 これらのスキームの強い収束速度は何か？ なぜ古典的1/2次に達しないのか？
• RQ5 時間ステップ数と粒子数が、収束誤差にどのように同時に影響を与えるか？

主な発見

• 拡散係数の弱い条件および勾配-測度依存性に関する構造的仮定の下で、1次元における不連続勾配を伴うMcKean-Vlasov SDEの適切な定義が確立された。
• 解の存在を保証するためには、勾配の不連続点において拡散係数がゼロでない必要がある。
• 強い収束保証を伴う、完全に実装可能なEuler-Maruyama型スキームが粒子系に対して提案された。
• 勾配の不連続性のため、標準的な解析手法が無効となり、収束速度は古典的1/2次を下回る。
• 収束は時間ステップ数と粒子数の両方の観点から証明され、誤差境界は両者の共同影響を反映している。
• 解析により、勾配の不連続性が収束の性質を根本的に変えることが明らかとなり、古典的SDE理論を超える新しい数学的道具の必要性が示された。