[論文レビュー] Wellposedness and regularity estimate for stochastic Cahn--Hilliard equation with unbounded noise diffusion

Jianbo Cui, Jialin Hong|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、乗法的空間時刻白色ノイズと部分線形拡散を伴う1次元確率的 Cahn–Hilliard 方程式について、グローバル存在および最適な正則性推定を確立する。スペクトルガレルキン法と要因分解技術を用いて、近似解の強収束率が鋭く得られ、一般の部分線形成長ノイズ拡散のもとで、初めてグローバル存在および正則性の結果が得られた。

ABSTRACT

In this article, we consider the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by multiplicative space-time white noise with diffusion coefficient of sublinear growth. By introducing the spectral Galerkin method, we first obtain the well-posedness of the approximated equation in finite dimension. Then with the help of the semigroup theory and the factorization method, the approximation processes is shown to possess many desirable properties. Further, we show that the approximation process is strongly convergent in certain Banach space via the interpolation inequality and variational approach. Finally, the global existence and regularity estimate of the unique solution process are proven by means of the strong convergence of the approximation process.

研究の動機と目的

• 乗法的空間時刻白色ノイズと一般の部分線形拡散成長のもとで、確率的 Cahn–Hilliard 方程式のグローバル存在という未解決問題を解消すること。
• 解過程の最適な時間的・空間的正則性推定を確立すること。
• 適切なバナッハ空間内でのスペクトルガレルキン近似の鋭い強収束率を導出すること。
• 弱解の指数的積分可能性を証明し、長期的解析および数値安定性に不可欠な性質を確立すること。

提案手法

• 有限次元部分空間における確率的 Cahn–Hilliard 方程式の離散化にスペクトルガレルキン法を適用する。
• 半群理論と要因分解法を用いて、近似方程式の適切性および一様な事前推定を導出する。
• 補間不等式と変分的技法を用いて、近似列の $L^p(\text{dom}; C([0,T]; \text{H}))$ 内での強収束を確立する。
• 半群 $S(t) = e^{-A^2 t}$ の滑らかさ効果を活用し、ディリクレ境界条件のもとで鋭い空間収束率を導出する。
• エネルギー推定における非線形項の制御に、ガラード–ニレングラートおよびヤングの不等式を用いる。
• 指数マーティンゲール補題と近似解列の一様有界性を用いて、指数的積分可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分線形成長拡散係数および空間時刻白色ノイズを伴う確率的 Cahn–Hilliard 方程式に対して、解のグローバル存在が確立可能か？
• RQ2 一般の部分線形ノイズ拡散のもとで、この方程式に対するスペクトルガレルキン法の最適な強収束率は何か？
• RQ3 乗法的空間時刻白色ノイズが存在する状況でも、解過程は最適な時間的・空間的正則性推定を満たすか？
• RQ4 非グローバルSPDE解析への応用を可能にするために、同じ条件下で解の指数的積分可能性が確立可能か？

主な発見

• 初期データ $X_0 \notin \text{H}^1$ であるが $\text{H}^\beta$ に属する ($\beta \neq 0$) 場合に、確率的 Cahn–Hilliard 方程式の解過程 $X(t)$ は、弱解としてグローバルに存在し、一意的である。
• スペクトルガレルキン近似 $X^N$ は、$L^p(\text{dom}; C([0,T]; \text{H}))$ 内で真の解 $X$ に強収束し、収束率 $O(\rho_N^{-\tau/2})$ を示す ($\tau \neq 0$)。ここで $\rho_N$ は $A$ の $N$ 番目の固有値である。
• 解は最適な時間的正則性推定を満たす：$\big\rrVert X(t) - X(s) \big\rrVert_{L^p(\text{dom}; \text{H})} \triangleq C(X_0, T, p) |t-s|^{\frac{\tau}{4}}$ であり、$0 \triangleq s \triangleq t \triangleq T$ を満たす。
• 同様に、同次ディリクレ境界条件のもとで、解は鋭い空間正則性を示し、強収束率 $O(\rho_N^{-\tau/2})$ を示す。
• 指数的積分可能性が成り立つ：$\text{E}\big[\text{exp}\big( \frac{1}{2}e^{-\beta t}\big\rrVert X(t)\big\rrVert_{\text{H}^{-1}}^2 + c\textstyle\bigint_0^t e^{-\beta s}\big\rrVert X(s)\big\rrVert_{L^4}^4 ds + c\textstyle\bigint_0^t e^{-\beta s}\big\rrVert \nabla X(s)\big\rrVert^2 ds \big)\big] \triangleq C(X_0, T)$ であり、ある $\beta > 0$、$c > 0$ に対して成り立つ。
• これは、非有界（部分線形）ノイズ拡散を伴う確率的 Cahn–Hilliard 方程式に対して、グローバル存在および鋭い強収束率を初めて確立する結果である。