[論文レビュー] What is Statistics?; The Answer by Quantum Language

Shiro Ishikawa|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、統計学が測定理論の言語的解釈である量子言語を通じて最もよく理解されると提案している。この枠組みにより、統計的推論、仮説検定、最尤推定、ベイズ推論、回帰分析が、単一の基礎的枠組みに統合される。すべての科学的測定を、量子的類似の公理に従う言語的プロセスとして扱うことで、統計的推論がこの世界観から自然に生じることを示し、統計学および科学全体に包括的かつ形而上的に整合性のある基礎を提供する。

ABSTRACT

Since the problem: "What is statistics?" is most fundamental in sceince, in order to solve this problem, there is every reason to believe that we have to start from the proposal of a worldview. Recently we proposed measurement theory (i.e., quantum language, or the linguistic interpretation of quantum mechanics), which is characterized as the linguistic turn of the Copenhagen interpretation of quantum mechanics. This turn from physics to language does not only extend quantum theory to classical theory but also yield the quantum mechanical world view (i.e., the (quantum) linguistic world view, and thus, a form of quantum thinking, in other words, quantum philosophy). Thus, we believe that the quantum lingistic formulation of statistics gives an answer to the question: "What is statistics?". In this paper, this will be done through the studies of inference interval, statistical hypothesis testing, Fisher maximum likelihood method, Bayes method and regression analysis in meaurement theory.

研究の動機と目的

• 統計学の根本的問い「統計学とは何か？」を、新しい科学的世界観に根ざして解消すること。
• すべての科学の基礎として、伝統的な機械的世界観に代わって言語的世界観（量子言語）を導入すること。
• フィッシャーの尤度、ベイズ推論、回帰分析を含む統計的手法が、統一された測定理論的枠組みから導出可能であることを示すこと。
• 量子言語を科学的探求の最終的言語的・哲学的基礎とすること。
• 古典的理論と量子理論の両方を包含する、決定的な公理的統計の定式化を提供すること。

提案手法

• 純粋測定理論（PMT）と統計的測定理論（SMT）の両方を含む、C*-代数的構造としての測定理論（MT）の形式化。
• 量子力学における言語的転換を導入し、測定を物理的プロセスではなく言語的記述として解釈すること。
• マルコフ作用素による状態遷移を伴う、木構造的時系列の連続的因果的観測量の定式化。
• フィッシャーの最尤原理とベイズの定理の量子言語的定式化を通じて、統計的推論を導出すること。
• 状態の時間発展と観測量代数を用いて、因果的フィッシャー＝ベイズ法を回帰分析の一般化として構築すること。
• ボーンの法則と状態更新則を用いて、数学的に厳密に事後状態と推論確率を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統計学を単一の基礎的世界観の下に統合するにはどうすればよいか？
• RQ2 言語は科学的測定において果たす役割は何か？ そして、古典的理論と量子理論をどのように包含するのか？
• RQ3 統計的推論、仮説検定、回帰分析が、単一の測定理論的枠組みから導出可能か？
• RQ4 量子言語的解釈は、統計学における長年の哲学的問題をどのように解決するか？
• RQ5 科学的記述の本質的性質は何か？ そして、物理学における言語的転換とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、信頼区間、仮説検定、最尤推定、ベイズ推論、回帰分析を含む、すべての統計的手法が、単一の測定理論的枠組みから導出可能であることを確立した。
• 因果的フィッシャー＝ベイズ法は、状態の時間発展を用いて回帰分析の一般化として形式的に導出され、フィッシャーの尤度とベイズの更新が統合された。
• 測定後の事後状態は $\nu_T^a = [B_{\widehat{\mathsf{O}}_{t_0}}(\times_{t\in T}\Xi_t)](\nu_0)$ で与えられ、$\nu_0$ は集合 $K$ 上での最尤推定により選ばれる。
• 例として $\nu_0 = \delta_{(0.4,1.4)}$ を用いた場合、時刻1における推定状態は $\nu_{\{1\}}^a = \delta_{1.8}$ となり、モデルと整合的であることが確認された。
• この枠組みにより、古典的統計的手法が量子言語的公理の結果として正当化され、統計学に形而上的な基礎が与えられた。
• 本稿は、科学は根本的に言語的であると結論づける。すべての現象は量子言語によって記述され、これが科学の最終的世界観である。