[論文レビュー] Whitney equisingularity of families of surfaces in $\mathbb{C}^3$

María Aparecida Soares Ruas, O. N. Silva|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Ruasが提起した長年の予想である、有限型写像芽 $f:(\mathbb{C}^2,0)\to(\mathbb{C}^3,0)$ の1パラメータの展開が位相的に自明であるならば、ウィットニー同様性であるという予想を検討している。反例を用いて、一般にはその予想が誤りであることを示し、二重点曲線 $D(f_t)$ のミルナー数 $\mu(D(f_t))$ の定数性がウィットニー同様性を保証しない複数の方法を提示している。しかし、$\gcd(n,m)\neq2$ を満たす一様な写像芽のクラスにおいては、その予想が成り立つことを特定し、25年ぶりに問題に対する完全な解答を与えた。

ABSTRACT

In this work, we study families of singular surfaces in $\mathbb{C}^3$ parametrized by $\mathcal{A}$-finitely determined map germs. We consider the topological triviality and Whitney equisingularity of an unfolding $F$ of a finitely determined map germ $f:(\mathbb{C}^2,0) ightarrow(\mathbb{C}^3,0)$. We investigate the following conjecture: topological triviality implies Whitney equisingularity of the unfolding $F$? We provide a complete answer to this conjecture, given counterexamples showing how the conjecture can be false.

研究の動機と目的

• 1994年にRuasが提起した予想、すなわち、有限型写像芽 $f:(\mathbb{C}^2,0)\to(\mathbb{C}^3,0)$ の1パラメータの展開が位相的に自明であるならば、ウィットニー同様性であるという予想を解決すること。
• 二重点曲線のミルナー数 $\mu(D(f_t))$ の定数性が、展開のウィットニー同様性を保証する十分条件かどうかを調査すること。
• 反例の構成と、予想が成り立つ条件の同定を通じて、予想に対する完全な解答を提示すること。
• 表面族のウィットニー同様性を特徴付けるために、極限多重度とヒルベルト＝サミュエル多重度が果たす役割を明確にすること。

提案手法

• ミルナー数 $\mu(D(f_t))$ が一定だが、高次の不変量が一定でないような写像芽の族を用いて、Ruasの予想の反例を明示的に構成する。
• Gaffneyによるウィットニー同様性の特徴付け（$\mu(D(f_t))$、$m_1(f_t(\mathbb{C}^2),0)$、$m_0(f_t(D(f_t)))$ の定数性）の適用。
• 二重点曲線 $D(f)$ 及びその上昇 $D^2(f)$ の分析において、$(f\times f)^*\mathcal{I}_3$ とヤコビ行列 $\alpha_{ij}$ の $2\times2$ 小行列式によって生成されるイデアル $\mathcal{I}^2(f)$ を用いる。
• $D(f)$ の既約成分のパラメトライゼーションと次数解析を通じて、$\mu(D(f_t))$、$m_0(f_t(D(f_t)))$、$\mu_1(f_t(\mathbb{C}^2),0)$ などの不変量の計算。
• $n,m,k$ が互いに素で $n < m < k$ を満たす一様な写像芽 $f(x,y) = (x^n, y^m, (x+y)^k)$ に対して、$d = nmk - n - m - k + 2$ のもとで、公式 $m_0(f(D(f))) = \frac{dn}{2}$ を適用する。
• 補題7.1および定理7.2の適用により、$f(D(f))$ のすべての成分が滑らかである場合、位相的自明性がウィットニー同様性を意味することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1パラメータの展開 $F$ が有限型写像芽 $f:(\mathbb{C}^2,0)\to(\mathbb{C}^3,0)$ に対して位相的に自明であるならば、ウィットニー同様性が成り立つか？
• RQ2 二重点曲線のミルナー数 $\mu(D(f_t))$ の定数性は、展開 $F$ のウィットニー同様性を保証する十分条件か？
• RQ3 $\mathbb{C}^3$ 内の表面族において、位相的自明性がウィットニー同様性を意味する条件は何か？
• RQ4 特定のクラスの写像芽、例えば $\gcd(n,m)\neq2$ を満たす一様な写像芽において、その予想は成り立つか？
• RQ5 ヒルベルト＝サミュエル多重度 $m_0(f_t(D(f_t)))$ および第一極限多重度 $m_1(f_t(\mathbb{C}^2),0)$ は、ウィットニー同様性を特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• 1パラメータの展開が有限型写像芽 $f:(\mathbb{C}^2,0)\to(\mathbb{C}^3,0)$ に対して位相的に自明であるならば、ウィットニー同様性であるという予想は、明示的な反例により一般には誤りであることが示された。
• ミルナー数 $\mu(D(f_t))$ のみではウィットニー同様性を保証できないことが、$\mu(D(f_t))$ が一定だが $m_0(f_t(D(f_t)))$ や $m_1(f_t(\mathbb{C}^2),0)$ が変動する例を通じて明らかになった。
• $n,m,k$ が互いに素で $n < m < k$ を満たす一様な写像芽 $f(x,y) = (x^n, y^m, (x+y)^k)$ に対して、二重点曲線 $D(f)$ は $d = nmk - n - m - k + 2$ 個の滑らかな既約成分を持ち、それらすべてが同定成分である。
• この一様な写像芽のクラスにおいて、$\gcd(n,m) \neq 2$ ならば、位相的自明性がウィットニー同様性を意味する。なぜなら、$f(D(f))$ のすべての成分が滑らかであるため、各成分に対して $m_0(f(D(f))) = 1$ となるからである。
• この一様な写像芽に対して、公式 $m_0(f(D(f))) = \frac{dn}{2}$ が成り立つ。ここで $d$ は $D(f)$ の既約成分の数、$n$ は最初の成分の次数である。
• この一様な写像芽に対して、第一極限多重度 $\mu_1(f(\mathbb{C}^2))$ は $(n-1)(m-1) + dn$ で与えられる。ここで $d = nmk - n - m - k + 2$ である。