[論文レビュー] Why Linear Programming cannot solve large instances of NP-complete problems in polynomial time

Radosław Hofman|ArXiv.org|Nov 2, 2006

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、近年の大規模な線形計画法（LP）定式化（変数がO(n⁹)）による成功の主張にもかかわらず、線形計画法（LP）がNP完全問題の大きなインスタンスを多項式時間で解くことはできないことを示している。LPはPに属するが、その応用は、根本的な構造的制限のため、漸近的に失敗する。これは、ほとんどすべての妥当なサイズのインスタンスに対して正しく解ける場合でも同様である。

ABSTRACT

This article discusses ability of Linear Programming models to be used as solvers of NP-complete problems. Integer Linear Programming is known as NP-complete problem, but non-integer Linear Programming problems can be solved in polynomial time, what places them in P class. During past three years there appeared some articles using LP to solve NP-complete problems. This methods use large number of variables (O(n^9)) solving correctly almost all instances that can be solved in reasonable time. Can they solve infinitively large instances? This article gives answer to this question.

研究の動機と目的

• 近年の主張にもかかわらず、線形計画法がNP完全問題を多項式時間で解けるかどうかを調査すること。
• NP完全問題を解くために用いられる大規模なLP定式化（例：O(n⁹)変数）の制限を分析すること。
• LPが任意に大きなインスタンスのNP完全問題を処理できないことを確立すること。これは、小さなまたは中程度のインスタンスに対しては機能する場合でも同様である。
• LPの能力がNP完全性を捉えられないことによって、PとNPの理論的境界を明確にすること。

提案手法

• 特にO(n⁹)変数を含むNP完全問題に向けたLP定式化の構造を分析する。
• 理論的計算複雑性理論を適用し、このようなLPモデルがすべてのインスタンスに対して多項式的にスケーリング可能かどうかを評価する。
• 整数線形計画法がNP完全である一方で、非整数LPがPに属することを用いて、理論的ギャップを露呈する。
• LPの固有の凸性と次元制約により、NP完全問題の離散的・組合せ的構造をモデル化できないことの証明。
• LPがほとんどすべての小さなインスタンスを正しく解けるとしても、それが任意に大きなインスタンスに一般化できないことの示唆。
• 複雑性理論的推論を用いて、変数数に関係なく、LPがNP完全性を捉えることはできないと主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 O(n⁹)変数を含む線形計画法定式化は、NP完全問題のすべてのインスタンスを多項式時間で解けるか？
• RQ2 小さなNP完全問題に対して成功したLPベースのアプローチが、なぜ任意に大きなインスタンスにスケーリングできないのか？
• RQ3 LPがNP完全問題を多項式時間で解くのを妨げる根本的な理論的障壁は存在するか？
• RQ4 非整数LPが多項式時間で解けるという事実から、それがNP完全問題を解けると結論づけられるか？
• RQ5 LP定式化を拡張することで、NP完全問題の完全な複雑性を捉えることは可能か？

主な発見

• LPは、多くの小さなインスタンスを正しく解けるものの、NP完全問題のすべてのインスタンスを多項式時間で解くことはできない。
• O(n⁹)変数を含むLP定式化は、中程度の入力に対しては有効であるが、任意に大きなインスタンスにスケーリングできない。
• LPの固有の凸性と次元制約により、NP完全問題の離散的・組合せ的構造をモデル化できない。
• LPがPに属し、整数LPがNP完全であるにもかかわらず、どのLP定式化でもNP完全問題の解空間をシミュレートできない。
• 根本的な理論的障壁が存在する—変数数に関係なく、LPはNP完全性の完全な複雑性を表現できない。
• 本論文は、LPがNP完全問題に対する一般の多項式時間解法として不十分であると結論づける。