[論文レビュー] Width-Independence Beyond Linear Objectives: Distributed Fair Packing and Covering Algorithms.

Jelena Diakonikolas, Maryam Fazel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般のα-公平パッキングおよびカバー問題に対する、幅に依存しない最初のほぼ線形時間分散アルゴリズムを提示する。線形計画法（α=0）の最先端の保証に一致する改善された収束レートを達成する。近似双対ギャップフレームワークを活用することで、簡潔な解析を提供し、公平なタスク割り当てを目的とした新しいα-公平カバー問題の定式化を導入する。

ABSTRACT

Fair allocation of resources has deep roots in early philosophy, and has been broadly studied in political science, economic theory, operations research, and networking. Over the past decades, an axiomatic approach to fair resource allocation has led to the general acceptance of a class of $\alpha$-fair utility functions parametrized by a single inequality aversion parameter $\alpha \in [0, \infty]$. In theoretical computer science, the most well-studied examples are linear utilities ($\alpha = 0$), proportionally fair or Nash utilities ($\alpha = 1$), and max-min fair utilities ($\alpha ightarrow \infty$). In this work, we consider general $\alpha$-fair resource allocation problems, defined as the maximization of $\alpha$-fair utility functions under packing constraints. We give improved distributed algorithms for constructing $\epsilon$-approximate solutions to such problems. Our algorithms are width-independent, that is, their running times depend only poly-logarithmically on the largest entry of the constraint matrix, and closely match the state-of-the-art guarantees for distributed algorithms for packing linear programs -- the case $\alpha = 0.$ Previously known width-independent algorithms for $\alpha$-fair resource allocation have convergence times with much worse dependence on $\epsilon$ and $\alpha$. Our analysis leverages the Approximate Duality Gap framework of Diakonikolas and Orecchia to obtain better algorithms with a more streamlined analysis. Finally, we introduce a natural counterpart of $\alpha$-fairness for minimization problems and motivate its usage in the context of fair task allocation. This generalization yields $\alpha$-fair covering problems, for which we provide the first width-independent nearly-linear-time approximate solvers by reducing their analysis to the $\alpha < 1$ case of the $\alpha$-fair packing problem.

研究の動機と目的

• パッキング制約下での幅に依存しない分散アルゴリズムを、α-公平リソース割り当てのために開発すること。
• 線形計画法（α=0）の最先端の収束保証を、一般のα-公平ユーティリティ関数へと拡張すること。
• 最小化問題に対するα-公平性の自然で有用な一般化を特定し、それを効率的に解けるようにすること。
• α-公平カバー問題の最初のほぼ線形時間近似ソルバーを、α<1のα-公平パッキングのケースに還元することで開発すること。
• 近似双対ギャップフレームワークを用いて、α-公平アルゴリズムの解析を簡素化すること。

提案手法

• DiakonikolasとOrecchiaの近似双対ギャップフレームワークを拡張し、パッキング制約下でのα-公平ユーティリティ最大化を解析する。
• 制約行列の最大成分にのみ多項式対数的依存性を持つ、ϵ-近似解を達成する分散アルゴリズムを設計する。
• α-公平カバー問題の解析を、α<1のα-公平パッキングのケースに還元し、パッキングアルゴリズムの収束保証を再利用可能にする。
• 公平なタスク割り当てを動機とする、α-公平パッキングの双対としての新しいα-公平カバー目的関数を導入する。
• 適応的ステップサイズを用いた勾配に類似した反復更新ルールを採用し、幅に依存しない性質を保証する。
• 潜在関数の議論を用いて収束時間をバウンディングし、ϵおよびαに近似的最適な依存性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幅に依存しない分散アルゴリズムを、α-公平パッキング問題に設計し、線形計画法（α=0）の収束レートに一致させることは可能か？
• RQ2 近似双対ギャップフレームワークを、α=0を越えて一般のα-公平ユーティリティ関数を扱えるように拡張することは可能か？
• RQ3 最小化問題に対するα-公平性の自然で有用な一般化とは何か？そして、それを効率的に解くにはどうすればよいか？
• RQ4 α-公平カバー問題を、α-公平パッキングへの還元によってほぼ線形時間で解くことは可能か？
• RQ5 幅に依存しない設定において、アルゴリズムの収束がϵおよびαにどのように依存するかが最適であるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、制約行列の最大成分に多項式対数的依存性を示す幅に依存しない収束を達成し、線形計画法（α=0）の最良既知の境界と一致する。
• ϵおよびαへの依存性が、従来の幅に依存しないα-公平パッキング用アルゴリズムよりも顕著に改善されている。
• 近似双対ギャップフレームワークにより、従来のアプローチよりもより簡潔かつ一般化された解析が可能になった。
• 本稿は、分散システムにおける公平なタスク割り当てをモデル化するための原則的かつ一貫性のある方法を提供する、最初のα-公平カバー問題の定式化を導入した。
• α-公平カバー問題の最初の幅に依存しないほぼ線形時間ソルバーが、α<1のα-公平パッキングのケースに還元することで開発された。
• アルゴリズムは、入力サイズに対してほぼ線形時間でϵ-近似解を達成し、問題の幅に多項式対数的依存性しか持たない。