[論文レビュー] Wilder McKay correspondences

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、モチーフ的積分とストリング理論的不変量を非線形群作用と特異的多様体に一般化するためのアンタングル技術と中心付き対数D多様体を用いて、任意の特徴的値（包括して野生的状況）におけるマケイ対応を一般化する。ストリング理論的不変量のための推測的質量公式をG被覆上のモチーフ的積分で定式化し、特定の単純および野生的例で検証され、局所ガロア表現のための質量公式を通じて数論と結びつけられる。

ABSTRACT

A conjectural generalization of the McKay correspondence in terms of stringy invariants to arbitrary characteristic, including the wild case, was recently formulated by the author in the case where the given finite group linearly acts on an affine space. In cases of very special groups and representations, the conjecture has been verified and related stringy invariants have been explicitly computed. In this paper, we try to generalize the conjecture and computations to more complicated situations such as non-linear actions on possibly singular spaces and non-permutation representations of non-abelian groups.

研究の動機と目的

• アフィン空間上の線形作用にとどまらず、特異的多様体上の非線形作用へと野生的マケイ対応を拡張すること。
• 正および混合特徴的値におけるストリング理論的不変量の計算のための枠組みをモチーフ的積分を用いて開発すること。
• 非アーベル群および置換表現でない場合を含む一般化を含む、予想を拡張すること。
• ストリング理論的不変量と局所ガロア表現のための数論的質量公式との間の関係を確立すること。
• 特異性とクレパント写像を非線形設定で取り扱うために、中心付き対数D多様体の概念を導入し、形式化すること。

提案手法

• G-弧の空間上のモチーフ的積分を用いて、ストリング理論的不変量を底辺離散値評価環のG被覆上の積分として表現する。
• アンタングル技術を適用してG-弧を補助多様体V|F|上の通常の弧に変換し、標準的なモチーフ的積分により計算を可能にする。
• 特異性と除因子的データを符号化するための中心付き対数D多様体(X, ∆, W)を導入し、特異的かつ非線形設定へのストリング理論的不変量の一般化を実現する。
• 中心化子作用の下での商弧空間を用いて、安定化子群を取り扱うための精製されたストリング理論的モチーフMst,CG(H)(v|F|,ν)を定義する。
• モチーフ的積分における変数変換公式を用いて、異なるG被覆からの寄与を総ストリング理論的モチーフに関連付ける。
• 等変埋め込みを用いて非線形G多様体を線形表現に埋め込み、その後、部分多様体に制限することで線形ケースの一般化を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特徴的値における非線形群作用が特異的アフィン多様体に及ぼす野生的マケイ対応をどのように一般化できるか？
• RQ2 非線形作用から生じる商多様体のストリング理論的モチーフの正確な形は何か？ そして、どのように計算できるか？
• RQ3 モチーフ的積分における重みは、アンタングルされた多様体v|F|,νの幾何的不変量およびその特異性とどのように関係するか？
• RQ4 S4作用が特徴的2の下で非単純かつ非アーベル的・非置換的ケースにおいて、予想を検証可能か？
• RQ5 精製された重みMst,CG(H)(v|F|,ν)の数論的解釈は、局所拡大およびガロア表現のための質量公式としてどのように解釈できるか？

主な発見

• 等変埋め込みと中心付き対数構造を用いて、特異的多様体上の非線形作用への予想の一般化が達成され、Conjecture 7.3ではG被覆上のモチーフ的積分を提案する。
• 二つの新しい例で野生的マケイ対応が検証された：単純な特異的ケース（第9節）と野生的非線形ケース（第10節）、両者ともA1およびD02n特異性を含む。
• 商x = v/Gのストリング理論的モチーフMst(x)は、G被覆上のモチーフ的積分として表現され、寄与はMst,CG(H)(v|F|,ν)で重み付けされ、これらはLまたはL1/nの有理関数として表される。
• 野生的非線形例（第10節）において、アンタングルされた多様体v|F|,νはA1およびD02n特異性を示し、正の特徴的値におけるアーティンの有理二重点の分類と整合的である。
• 重みMst,CG(H)(v|F|,ν)は幾何的意味を持つことが示され、数論において新たな質量公式を生じると期待され、単純な場合の古典的結果を一般化する。
• 本稿はモチーフ的積分と数論の間の橋渡しを確立し、予想における精製された重みがG被覆および局所ガロア表現の重み付き数え上げを実現できることを示した。