[論文レビュー] The $p$-cyclic McKay correspondence via motivic integration

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、商スタック上のモチビック積分を用いて、正標数 $p$ における $p$-巡回 McKay 対応を確立する。Artin-Schreier 拡張に関連するねじれた弧への変数変換公式の一般化により、商多様体 $V/G$ のストリングィなモチビック不変量を計算し、任意の折りたたみ解消が位相的オイラー標数 $p$ を持つことを示し、分岐ジャンプを伴うガロア拡張の数と関連付ける。

ABSTRACT

We study the McKay correspondence for representations of the cyclic group of order $p$ in characteristic $p$. The main tool is the motivic integration generalized to quotient stacks associated to representations. Our version of the change of variables formula leads to an explicit computation of the stringy invariant of the quotient variety. A consequence is that a crepant resolution of the quotient variety (if any) has topological Euler characteristic $p$ like in the tame case. Also, we link a crepant resolution with a count of Artin-Schreier extensions of the power series field with respect to weights determined by ramification jumps and the representation.

研究の動機と目的

• 標数 $p$ における巡回群 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の場合の、野生的ケースへの McKay 対応の拡張を図ること。
• 非ターミナルな群作用をもつ商スタック $[V/G]$ におけるモチビック積分技法の開発。
• ねじれた弧と分岐データを用いて、商多様体 $X = V/G$ のストリングィなモチビック不変量の計算。
• 折りたたみ解消と指定された分岐ジャンプをもつ Artin-Schreier 拡張の数との間の関係の確立。
• 射影化された商スタック $[X/\mathbb{G}_m]$ のストリングィ不変量に対する Poincaré双対性の証明。

提案手法

• 商スタック $\mathcal{X} = [V/G]$ のねじれた弧の空間へのモチビック積分の一般化。
• $k((t))$ の Artin-Schreier 拡張を用いて、分岐ジャンプ $j$ でパrameter化されたねじれた弧の導入（$p \nmid j$）。
• 変数変換公式の導出：$\mathcal{J}_\infty\mathcal{X}$ 上のモチビック積分と $J_\infty X$ 上の積分を結びつけるもので、ヤコビアンと補正項 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}(\gamma) = \mathrm{sht}_V(j)$ を含む。
• 一般化された変数変換を用いて、弧空間上のモチビック積分としてストリングィなモチビック不変量 $M_{\mathrm{st}}(X)$ を定義。
• $D_V = \sum_{\lambda=1}^l \frac{(d_\lambda - 1)d_\lambda}{2}$ を用いてケースを分類し、$D_V \geq p$ により不変量が正しく定義されることを保証。
• 公式を適用して、射影化スタック $[X/\mathbb{G}_m]$ に対する Poincaré 双対性の記述を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標数 $p$ における位数 $p$ の巡回群 $G$ をもつとき、商多様体 $V/G$ のストリングィなモチビック不変量の構造は何か？
• RQ2 $p$-群作用をもつ非ターミナルな商スタックに対して、モチビック積分理論はどのように拡張可能か？
• RQ3 Artin-Schreier 拡張の分岐ジャンプと商スタックのストリングィ不変量との関係は何か？
• RQ4 折りたたみ解消が存在するならば $D_V = p$ であることが保証されるか？また、$D_V = p$ ならばそのような解消が存在するか？
• RQ5 このような商スタックに対して、正標数におけるストリングィ不変量の Poincaré 双対性は確立可能か？

主な発見

• $D_V \geq p$ のとき、$X = V/G$ のストリングィなモチビック不変量は $M_{\mathrm{st}}(X) = \mathbb{L}^d + \frac{\mathbb{L}^{l-1}(\mathbb{L}-1)\left(\sum_{s=1}^{p-1}\mathbb{L}^{s - \mathrm{sht}_V(s)}\right)}{1 - \mathbb{L}^{p-1-D_V}}$ で与えられる。
• もし $X$ が折りたたみ解消 $Y \to X$ をもつならば、$D_V = p$ であり、$[Y] = \mathbb{L}^d + \mathbb{L}^l \sum_{s=1}^{p-1} \mathbb{L}^{s - \mathrm{sht}_V(s)}$ となる。これより、$Y$ の位相的オイラー標数は $p$ であることがわかる。
• 有限体 $\mathbb{F}_q$ に対して、例外的局所 $E_0 \subset Y$ の $\mathbb{F}_q((t))$-有理点の個数は $\sharp E_0(\mathbb{F}_q) = 1 + \frac{p-1}{p} \sum_{j>0,\, p\nmid j} \frac{N_{q,j}}{q^{\mathrm{sht}_V(j)}}$ を満たし、点の個数とガロア拡張の個数とを関連付ける。
• 射影化スタック $[X/\mathbb{G}_m]$ のストリングィ不変量は Poincaré 双対性を満たす：$M_{\mathrm{st}}(\mathcal{W}; \mathbb{L}^{-1}) \mathbb{L}^{d-1} = M_{\mathrm{st}}(\mathcal{W}; \mathbb{L})$。
• ねじれた弧 $\gamma$ に対する補正項 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}(\gamma)$ は $\mathrm{sht}_V(j) = \sum_{\lambda=1}^l \sum_{i=1}^{d_\lambda - 1} \left\lfloor \frac{ij}{p} \right\rfloor$ で与えられ、$j$ は関連する Artin-Schreier 拡張の分岐ジャンプである。
• 写像 $\phi_\infty: \mathcal{J}_\infty\mathcal{X} \to J_\infty X$ に対して、変数変換公式が成り立つ。測度変換には $\mathrm{ord}\, \mathrm{Jac}_\phi$ と $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}$ が関与する。