[論文レビュー] Windowed quantum arithmetic

Craig Gidney|arXiv (Cornell University)|May 19, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、制御操作のグループ化によって量子回路におけるToffoli数を削減するための、ウィンドウ付き量子算術を紹介する。小規模なウィンドウの操作について事前に計算結果を生成することで（例：モジュロ指数計算や乗算において）、実用的な量子ビット数（数十〜数千量子ビット）の範囲で、従来の手法よりも低いリソースコストを達成する。ただし、古典的前処理コストが高くなる点に注意が必要である。

ABSTRACT

We demonstrate a technique for optimizing quantum circuits that is analogous to classical windowing. Specifically, we show that small table lookups can allow control qubits to be iterated in groups instead of individually. We present various windowed quantum arithmetic circuits, including a windowed modular exponentiation with nested windowed modular multiplications, which have lower Toffoli counts than previous work at register sizes ranging from tens of qubits to thousands of qubits.

研究の動機と目的

• 古典的コンピューティングで操作数を削減するために使われる古典的ウィンドウ化技術を、量子ドメインに適応させること。
• 特にモジュロ指数計算や古典定数を含む乗算に対して、量子算術回路におけるToffoli数を削減すること。
• 実用的レジスタサイズ（数十〜数千量子ビット）において、ウィンドウ付き量子算術が従来手法を上回ることを示すこと。
• 例えばモジュロ指数計算内でのウィンドウ付きモジュロ乗算のような、ネストされたウィンドウ最適化の可能性と効率を調査すること。
• フォールトトレラント量子コンピューティングにおける、古典的前処理コストと量子リソースの節約のトレードオフを評価すること。

提案手法

• 量子レジスタによってアドレス指定される小さな古典的テーブルルックアップを用いて、制御操作のシーケンスを置き換える。
• 指数ビットのブロックに対して事前に計算結果を生成することで、モジュロ指数計算にウィンドウ化を適用する（例：繰り返し自乗法の20回分の反復）。
• 測定に基づくアンコンピューティングを用いて、テーブルルックアップをO(√L)のToffoli数で逆転させる。これにより、O(L)のコストを回避し、リソースの再利用を効率的に行える。
• ウィンドウ付き乗算とウィンドウ付き指数計算を組み合わせ、ネストされた最適化を実現し、回路の深さとToffoli数を全体的に削減する。
• Q#を用いて構成を実装し、トレーシングシミュレータを用いて、ウィンドウ付き、スコールブック、カラツバ乗算法の各手法におけるToffoli数を比較してベンチマークを実施する。
• アドレスレジスタのユニタリ符号化を用いて、アンコンピューティング中の制御位相補正を可能にし、Toffoliオーバーヘッドを最小限に抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ウィンドウ化技術は、算術演算における量子回路の深さとToffoli数を効果的に削減するために、量子ドメインに適応可能か？
• RQ2 実用的量子ビット数におけるウィンドウ付き量子算術のToffoli数は、スコールブック法やカラツバ乗算法と比べてどの程度か？
• RQ3 フォールトトレラント量子回路において、古典的前処理コストと量子リソースの節約のトレードオフはどのようなものか？
• RQ4 例えばモジュロ指数計算内でのウィンドウ付き乗算のような、ネストされたウィンドウ化は、回路効率に顕著な向上をもたらすか？
• RQ5 ウィンドウ化はどのような条件下で量子算術に対して有効であり、どのような状況で失敗する（例：すべての被乗数が量子レジスタの場合）か？

主な発見

• レジスタサイズが数十〜数千量子ビットの範囲で、ウィンドウ付き量子算術は従来手法よりも低いToffoli数を達成する。
• 古典的前処理コストが高額でも、事前に計算されたテーブルルックアップにより、複数の制御乗算を保存することで、Toffoli数を削減できる。
• 実用的サイズでは、カラツバ乗算の漸近的スケーリングが優れているにもかかわらず、ウィンドウ付き乗算はスコールブック法およびカラツバ乗算法を上回るToffoli数を達成する。
• ネストされたウィンドウ付きモジュロ指数計算回路は、ウィンドウ付きモジュロ乗算を用いて全体のリソースコストを削減し、ウィンドウサイズを√(n)に設定した場合、Toffoli複雑度はO(nen² / log²n)となる。
• 測定に基づくアンコンピューティングにより、テーブルルックアップのアンコンピューティングコストをO(√L)のToffoli数に抑えられ、計算コストに比べて無視できるほど低い。
• この手法は、乗算の定数因子が古典的である場合に最も効果的であり、すべての被乗数が量子レジスタである場合には失敗する。