[論文レビュー] Wormholes in Quantum Mechanics

Herman Verlinde|arXiv (Cornell University)|May 5, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、位相空間量子化から導かれる1次元量子系の広いクラスにおける虫むしの分配関数の幾何的経路積分形式を導入し、$n$重虫むしの分配関数が熱混合二重状態（TMD）状態の$n$番目のRényiエントロピーに等しいことを示している。この構成により、TMD状態内に古典的相関、量子もつれ、古典的非相関の3種類の量子統計的挙動が明らかになり、Virasoro対称性を有する2次元CFTにおけるホログラフィックなAdS$_3$/CFT$_2$双対性が再現される。

ABSTRACT

We introduce a geometric path integral definition of wormhole partition functions in a general class of 1D quantum systems obtained by quantizing a phase space. We compute the wormhole partition function in a semi-classical limit and in some simple examples. The partition function of the n-fold wormhole is found to be identical to the n-th Renyi entropy of a thermal mixed state of the doubled system. This mixed state incorporates three types of quantum statistical behavior: classically correlated, quantum entangled, and classically uncorrelated. We apply our prescription to 2D CFTs with Virasoro symmetry and recover the holographic dual formulation in terms of AdS3 gravity.

研究の動機と目的

• 位相空間量子化から導かれる1次元量子系の広いクラスにおける虫むしの分配関数の幾何的経路積分的定義を確立すること。
• n重虫むしの分配関数が、二重系の熱的混合状態のn番目のRényiエントロピーに一致することを示すこと。
• 古典的相関、量子もつれ、古典的非相関の3種類の量子統計的挙動を、1つの密度行列フレームワーク内で統一すること。
• Virasoro対称性を有する2次元CFTのホログラフィック双対性を特別な場合として回復し、レプリカアンザッツを用いてAdS$_3$重力記述を再現すること。
• 重力理論に依存しない、量子力学的実現としての虫むし幾何の構築を示し、それが重力系に特有のものではないことを示すこと。

提案手法

• 境界を持つ2次元表面$\Sigma$上での場$X^a$に関する経路積分として虫むしの分配関数$Z(\Sigma)$を定義し、$\int_\Sigma \Omega - \oint_{\partial\Sigma} H dt$という作用を用いる。ここで$\Omega$は閉形式だが、必ずしも完全形式でないシンプレクティック形式である。
• n重トランペット幾何$\Sigma_n$（各境界が長さ$\beta$を有するn個の境界成分を持つ）に対して、$Z(\Sigma_n)$を半古典的に計算し、鞍点近似を用いる。
• 正確な計算のため、シンプレクティック形式が閉形式だが完全形式でない（例：$G=SL(2,\mathbb{R})$）群多様体上の粒子を分析し、経路積分における非自明な位相的性質を可能にする。
• 熱混合二重（TMD）密度行列$\rho_{\rm TMD} = \sum_j p_j \rho_j^L \otimes \rho_j^R$を仮定する。ここで$\rho_j$はセクター$j$におけるデゲネレート状態上の最大混合状態である。この構成により熱的混合状態をモデル化する。
• レプリカアンザッツを確立する：$\text{Tr}(\rho_{\rm TMD}^n) = Z(\Sigma_n)/Z(D)^n$。これにより、TMD状態のRényiエントロピーと虫むしの分配関数が結びつく。
• 位相空間をChern-Simons理論に写像することで、Virasoro対称性を有する2次元CFTにこの形式を適用し、Einstein-Hilbert作用とVirasoro群作用の間の対応関係により、AdS$_3$重力双対が回復される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非重力的量子系において、幾何的経路積分形式を用いて虫むし幾何を定義できるか？
• RQ2 n重虫むしの分配関数は、二重量子系におけるRényiエントロピーなどの量子情報量とどのように関係するか？
• RQ3 熱混合二重状態内における3種類の統計的挙動（古典的相関、量子もつれ、古典的非相関）の物理的解釈は何か？
• RQ4 重力の仮定なしに、完全に量子力学的経路積分的構成からホログラフィックなAdS$_3$/CFT$_2$双対性を導出できるか？
• RQ5 シンプレクティック形式が閉形式だが完全形式でない場合、2次元表面$\Sigma$の位相的性質が、虫むしの分配関数の定義に果たす役割は何か？

主な発見

• $n$重虫むしの分配関数$Z(\Sigma_n)$は、正確に熱混合二重（TMD）状態の$n$番目のRényiエントロピー$\text{Tr}(\rho_{\rm TMD}^n)$に等しくなる。これにより、幾何的構造と量子情報理論の間の直接的な対応関係が確立される。
• TMD状態は、熱的重み$p_j$による古典的相関、$\rho_j^L \otimes \rho_j^R$構造による量子もつれ、各セクター内でのデゲネレートで非もつれ状態であるための古典的非相関という3つの異なる統計的挙動を統合している。
• Virasoro対称性を有する2次元CFTに対しては、形式がAdS$_3$重力双対を再現し、3次元重力のChern-Simons形式と幾何的位相空間経路積分が一致する。
• 2次元CFTの文脈では、TMD状態のRényiエントロピーは$\text{Tr}(\rho_{\rm cft}^n) = \sum_j \frac{p_j^n}{N_j^{2n-2}}$と表され、$N_j$は$j$番目のセクターのデゲネレート度である。相互情報量は$I_{LR} = S_p(\beta)$、すなわち熱的エントロピーに等しい。
• Rényiエントロピーの普遍的で切断に依存しない部分は、$\rho_j^L \otimes \rho_j^R$構造に起因するが、$N_j$に依存する項は短距離もつれ寄与を表している。
• この構成により、虫むし幾何が重力理論に特有のものではなく、完全に非完全なシンプレクティック形式を有する通常の量子系において自然に出現することを示し、ホログラフィー的性質の新たな量子力学的起源を提供する。