[論文レビュー] Yang-Mills for probabilists

Sourav Chatterjee|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 46被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、格子規範理論の連続極限を確率的接続のスケーリング極限として定式化することにより、ユークリッド型ヤン・ミルズ理論の構成問題を確率論の問題として再定式化する。確率的手法を用いて、ウィルソンループの振る舞いや紫外安定性といった主要な課題を特定し、正規化と熱方程式正則化を用いた非アーベル量子場理論の構成に向けての数学的進展をレビューする。

ABSTRACT

The rigorous construction of quantum Yang-Mills theories, especially in dimension four, is one of the central open problems of mathematical physics. Construction of Euclidean Yang-Mills theories is the first step towards this goal. This article presents a formulation of some of the core aspects this problem as problems in probability theory. The presentation begins with an introduction to the basic setup of Euclidean Yang-Mills theories and lattice gauge theories. This is followed by a discussion of what is meant by a continuum limit of lattice gauge theories from the point of view of theoretical physicists. Some of the main issues are then posed as problems in probability. The article ends with a brief review of the mathematical literature.

研究の動機と目的

• ユークリッド型ヤン・ミルズ理論の構成という数学的問題を、確率論の問題として再定式化すること。
• 格子規範理論の連続極限を、量子場理論を構成する上での中心的課題として特定すること。
• 連続極限における非自明なウィルソンループ相関の存在を、主要な未解決問題として提示すること。
• 格子近似と正規化技術を用いたヤン・ミルズ理論の厳密な構成の現状をレビューすること。
• フェーズセル正規化と熱方程式正則化が、非可換ゲージ理論の構成的量子場理論プログラムを進める上で果たす役割を強調すること。

提案手法

• ヤン・ミルズ作用とギブス測度構成を用いて、接続の空間上の形式的確率測度としてユークリッド型ヤン・ミルズ理論を定式化する。
• 有限次元測度を持つ離散時空格子上の厳密に定義された確率的モデルとして、格子規範理論を導入する。
• クォークの閉じ込めや連続極限における非自明な相関構造を調べるために、ウィルソンループ変数を基本的観測量として用いる。
• フェーズセル正規化を用いて、段階的に粗視化された格子理論を繰り返し適用し、巨視的有効場理論への収束を検討する。
• 格子スケール ε → 0 のとき、格子理論の空間におけるコンパクトネスの議論を用いて紫外安定性を分析する。
• ゲージ不変性を保ちつつ、3次元非可換理論の構成に有望な可能性を示す、ヤン・ミルズ熱方程式正則化という代替正則化法を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元において、格子規範理論の連続極限は、接続の空間上の確率測度として厳密に定義可能だろうか？
• RQ2 ウィルソンループ変数は、連続極限において非自明な面積則の振る舞いを示すだろうか？（これはクォークの閉じ込めを示唆する。）
• RQ3 非可換ゲージ群が4次元において、フェーズセル正規化による有効場理論の部分列収束という紫外安定性が達成可能だろうか？
• RQ4 ヤン・ミルズ熱方程式正則化法により、3次元非可換理論の非自明な連続極限が得られるだろうか？
• RQ5 フェーズセル正規化プログラムを拡張することで、4次元純粋ヤン・ミルズ理論の連続極限の存在を証明できるだろうか？

主な発見

• フェーズセル正規化を用いて、3次元および4次元非可換格子規範理論における紫外安定性は確立されたが、完全な連続極限の存在は未解決のままである。
• 4次元U(1)格子規範理論の連続極限は、ドライバーによるグロスの方法によって構成されたが、非可換の場合については未解決のままである。
• キングの研究により、3次元ヒッグス模型の連続極限が確立され、正規化アプローチの下位次元における実現可能性が示された。
• フェーズセル正規化は、アーベルおよび非可換理論の3次元および4次元において、連続極限の存在を示すために成功したが、収束は部分列収束にとどまっている。
• ヤン・ミルズ熱方程式正則化を用いた最近のアプローチは、3次元非可換ユークリッド型ヤン・ミルズ理論の構成に有望である。
• 非可換ゲージ群をもつ4次元純粋ヤン・ミルズ理論の非自明な連続極限の構成は、まだ達成されていないが、関連モデルにおいて顕著な進展が見られている。