[論文レビュー] Zelevinsky involution and l-adic cohomology of the Rapoport-Zink tower

Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\ell$-進コホモロジーにおけるFarguesのゼレビンスキー作用素に関する結果を、Drinfeldの塔から$\mathrm{GSp}(2n)$のRapoport-Zink塔へ一般化する。形式的モデル$\mathcal{M}$に依存する新しいコホモロジー$H^i_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty)$を導入し、コンパクト台付きコホモロジーのゼレビンスキー双対と、$\mathcal{C}_{\mathcal{M}}$に関するずらされた双対コホモロジー群との間に同型を確立することで、局所Langlands対応の幾何的実現を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate how the Zelevinsky involution appears in the l-adic cohomology of the Rapoport-Zink tower. We generalize the result of Fargues on the Drinfeld tower to the Rapoport-Zink towers for symplectic similitude groups.

研究の動機と目的

• Drinfeldの塔から$\mathrm{GSp}(2n)$のRapoport-Zink塔へ、$\ell$-進コホモロジーにおけるFarguesのゼレビンスキー作用素に関する結果を拡張すること。
• Rapoport-Zink空間の形式的モデル$\mathcal{M}$に依存する新しいコホモロジー理論$H^i_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty)$を導入し、この設定における$\mathcal{M}$の非スキーム的性質に対処すること。
• コンパクト台付きコホモロジーのゼレビンスキー双対と、$\mathcal{C}_{\mathcal{M}}$に関するずらされた双対コホモロジー群との間に、双対性同型を確立することにより、この文脈におけるポincare双対性を一般化すること。
• 非超臨界的表現$J$のコホモロジーへの寄与を理解するための枠組みを提供すること、特にBernstein成分と$\ell$-進Weil群表現との関係を含む。

提案手法

• 形式的モデル$\mathcal{M}$の方向におけるコンパクト台付きコホモロジーとして定義される新しいコホモロジー群$H^i_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty)$を導入し、$\mathcal{M}$が$ p $-進形式的スキームである場合には標準的なコンパクト台付きコホモロジーに還元されることを示す。
• $G \times J \times W_{\mathbb{Q}_p}$の作用を$H^i_c(M_\infty)$および$H^i_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty)$に用い、表現論的構造と幾何的コホモロジーを関連付ける。
• Bernstein-Zelevinsky理論により定義される、$J$の滑らか表現におけるゼレビンスキー作用素$\operatorname{Zel}$を用い、双対コホモロジー群を関連付ける。
• Bernstein分解と、固定された中心的特徴方$\chi$を持つ$J$-表現のBernstein成分$\mathfrak{s}$によって添字づけられるコホモロジーの$\mathfrak{s}$-成分の概念を用い、コホモロジー同型を局所化する。
• $G$の中心$Z_G$のヘッケ代数$\mathcal{H}(Z_G)$を用い、$G$-表現$V$の$\tau$-型成分$V_\tau$を定義することで、滑らかな$\widetilde{K}$-表現の観点からコホモロジーを研究可能にする。
• [IM10]の結果を用いて、$H^i_c(M_\infty/p^{\mathbb{Z}})$と$H^i_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty/p^{\mathbb{Z}})$を比較し、主定理および補題5.12の証明に不可欠な役割を果たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rapoport-Zink塔の$\ell$-進コホモロジーにおいて、Zelevinsky作用素はDrinfeldおよびLubin-Tateの場合を超えて、$\mathrm{GSp}(2n)$に対してどのように現れるか。
• RQ2 Rapoport-Zink空間$\mathcal{M}$が$ p $-進形式的スキームでない場合に、Farguesの双対性結果を一般化するために必要なコホモロジー理論は何か。
• RQ3 Bernstein成分$\mathfrak{s}$によって添字づけられるコホモロジーの$\mathfrak{s}$-成分は、Zelevinsky作用素の下でどのように変化するか。
• RQ4 $p^{\mathbb{Z}}$を法とするRapoport-Zink塔のコホモロジーと、$\mathcal{C}_{\mathcal{M}}$-コホモロジーに関する双対コホモロジーとの間の正確な関係は何か。
• RQ5 Zelevinsky作用素を含むコホモロジー双対性は、塔のコホモロジーにおける非超臨界的表現の存在を検出するために用いられるか。

主な発見

• 主結果として、$J \times W_{\mathbb{Q}_p}$-表現の同型 $H^{2d + \iota(\mathfrak{s}) - i}_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty)_{\tau^\vee, \mathfrak{s}^\vee}(d) \cong \operatorname{Zel}\bigl{(}H^i_c(M_\infty)_{\tau, \mathfrak{s}}^\vee\bigr{)}$ が得られ、ここで$d = n(n+1)/2$であり、$\iota(\mathfrak{s})$はBernstein成分$\mathfrak{s}$の深さを測る不変量である。
• $n=2$の場合、技術的仮定5.8の下で、$\pi \otimes \rho \otimes \sigma$ が $H^3_c(M_\infty / p^{\mathbb{Z}})$ の部分商として現れるための必要十分条件は、$\pi^\vee \otimes \operatorname{Zel}(\rho^\vee) \otimes \sigma^\vee(-3)$ が $H^4_c(M_\infty / p^{\mathbb{Z}})$ の部分商として現れることである。
• $\mathcal{M}$ が $p$-進形式的スキームであるとき、コホモロジー $H^i_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty)$ が標準的コンパクト台付きコホモロジー $H^i_c(M_\infty)$ と一致することが示され、新しいコホモロジーが自然な一般化であることが裏付けられる。
• この論文は、$n=2$のとき、$\dim \mathcal{M}^{\mathrm{red}} = 1$ であるため、$H^2_c(M_\infty / p^{\mathbb{Z}})$ の$G$-超臨界的部品が消えることを証明し、[Ito-Mieda]の結果を拡張する。
• 著者らは、Rapoport-Zink塔のコホモロジーが局所$A$-パケージを実現している可能性を推測しており、$\pi \otimes \rho^\vee$ と $\pi \otimes \rho^{\prime\vee}$ が $H^3_c(M_\infty / p^{\mathbb{Z}})$ に現れ、$\pi \otimes \operatorname{Zel}(\rho)^\vee$ が $H^4_c(M_\infty / p^{\mathbb{Z}})$ に現れることから、$A$-パケージとコホモロジー双対性との間の関係を示唆する。
• この手法は、[Mie13]における幾何的性質の適用可能性から、他のRapoport-Zink塔へも拡張可能であることが示され、著者らは今後$\mathrm{GSp}(4)$への結果の拡張を計画している。