[論文レビュー] Zero Lyapunov exponents of the Hodge bundle

Giovanni Forni, Carlos Matheus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、実Hodge bundleにPSL(2,R)-不変部分束をもたないが、それでもスペクトルにゼロのリャプノフ指数を示す算術的テイヒミュラー曲線の、これまでに知られていた唯一の例を構成している。著者らは、可約Hodgeバンドル分解における等長的でないモノドロミー作用という、新たなメカニズムを同定し、ゼロ指数の出現を説明している。これは、従来の等長的モノドロミーに基づく理解を一般化するものであり、任意のPSL(2,R)-不変測度におけるリャプノフスペクトルのゼロ指数の唯一の原因であると予想されている。

ABSTRACT

By the results of G. Forni and of R. Treviño, the Lyapunov spectrum of the Hodge bundle over the Teichmüller geodesic flow on the strata of Abelian and of quadratic differentials does not contain zeroes even though for certain invariant submanifolds zero exponents are present in the Lyapunov spectrum. In all previously known examples, the zero exponents correspond to those PSL(2,R)-invariant subbundles of the real Hodge bundle for which the monodromy of the Gauss-Manin connection acts by isometries of the Hodge metric. We present an example of an arithmetic Teichmüller curve, for which the real Hodge bundle does not contain any PSL(2,R)-invariant, continuous subbundles, and nevertheless its spectrum of Lyapunov exponents contains zeroes. We describe the mechanism of this phenomenon; it covers the previously known situation as a particular case. Conjecturally, this is the only way zero exponents can appear in the Lyapunov spectrum of the Hodge bundle for any PSL(2,R)-invariant probability measure.

研究の動機と目的

• ゼロのリャプノフ指数がHodgeバンドルスペクトルに現れる可能性が、PSL(2,R)-不変部分束が存在しない場合にもあるかどうかという、長年の未解決問題を解消すること。
• キゾンヴィッチ–ゾリッチスペクトルにおけるゼロリャプノフ指数の出現を説明する、等長的モノドロミーを越えた新たなメカニズムを同定・特徴づけること。
• 実Hodgeバンドルが可約でないが、それでもゼロリャプノフ指数を有する具体的な算術的テイヒミュラー曲線を構成すること。
• この新たなメカニズムが、従来の等長的モノドロミーのケースを一般化しており、任意のPSL(2,R)-不変測度におけるリャプノフスペクトルのゼロ指数の唯一の可能な原因であると予想されることを証明すること。

提案手法

• 適切な対称性を持つ基本リーマン面の上での巡回被覆構成を用いて、特定の算術的テイヒミュラー曲線を構成する。
• ホモロジー基底を用いてHodgeバンドルの分解を分析し、明示的な経路積分と誘導ホモモーティズムを用いてモノドロミー表現を計算する。
• モノドロミー群のザリスキ閉包を評価し、Hodgeバンドル分解の可約性および強い可約性を特定する。
• 擬ユニタリコサイクルの理論を用いて、リャプノフスペクトルとガウス＝マニン接続およびモノドロミー作用の力学的性質を関連付ける。
• モノドロミーがいかなる部分バンドルに対しても等長的には作用しないが、分解内に隠れた対称性のおかげで、依然としてゼロ指数が現れることを示す。
• ヴェーチ群および閉じた測地線のグラフ論的符号化を用いて、テイヒミュラー円板上の力学的性質を分析し、スペクトル性質を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PSL(2,R)-不変部分束が存在しない場合でも、Hodgeバンドルスペクトルにゼロのリャプノフ指数が現れ得るか？
• RQ2 等長的モノドロミーを越えて、キゾンヴィッチ–ゾリッチスペクトルにおけるゼロリャプノフ指数の出現を引き起こす動的メカニズムは何か？
• RQ3 可約分解における非等長的モノドロミーという新しいメカニズムは、スペクトルにおけるゼロ指数の唯一の可能な原因であると予想されるか？
• RQ4 算術的テイヒミュラー曲線の文脈において、このような例を明示的に構成し、検証することは可能か？
• RQ5 モノドロミー群のザリスキ閉包は、Hodgeバンドルのスペクトル的性質を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、実Hodgeバンドルが可約（PSL(2,R)-不変部分束をもたない）であるが、それでもそのスペクトルにゼロリャプノフ指数を含む具体的な算術的テイヒミュラー曲線の例を提示している。
• ゼロ指数は等長的モノドロミーによるものではなく、Hodgeバンドルの可約分解における非等長的モノドロミー作用によって生じている。
• モノドロミー群のザリスキ閉包がシンプレクティック群の真の部分群であることが示され、バンドルがモノドロミー作用のもとで完全に可約でないことが示された。
• この例について、リャプノフ指数スペクトルが明示的に計算され、不変部分束が存在しないにもかかわらずゼロ指数が存在することを確認した。
• 同定されたメカニズムは、古典的な等長的モノドロミーのケースを一般化しており、任意のPSL(2,R)-不変測度におけるリャプノフスペクトルのゼロ指数の唯一の可能な原因であると予想されている。