[論文レビュー] Zero-sum path-dependent stochastic differential games in weak formulation

Dylan Possamaï, Nizar Touzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、弱い意味での問題定式化により、経路に依存する力学を持つゼロ和確率的微分ゲームにおけるゲーム価値の存在を確立する。これにより、強い解を要件としないフィードバック型制御を許容する。経路に依存する Isaacs 条件および関連する HJB 方程式の粘性解の一意性の下で、ゲーム価値は存在し、2次確率的後向き SDE を用いて特徴付けられる。

ABSTRACT

We consider zero-sum stochastic differential games with possibly path-dependent controlled state. Unlike the previous literature, we allow for weak solutions of the state equation so that the players' controls are automatically of feedback type. Under some restrictions, needed for the a priori regularity of the upper and lower value functions of the game, we show that the game value exists when both the appropriate path-dependent Isaacs condition, and the uniqueness of viscosity solutions of the corresponding path-dependent Isaacs-HJB equation hold. We also provide a general verification argument and a characterisation of saddle-points by means of an appropriate notion of second-order backward SDEs.

研究の動機と目的

• 制御が単純型またはマルコフ型に制限される古典的確率的微分ゲーム定式化における非対称性と技術的課題を解消すること。
• 強い解を要件としないフィードバック型制御を許容する弱い定式化フレームワークを構築すること。
• 経路に依存する Isaacs 条件および粘性解の一意性の下でゲーム価値の存在を証明すること。
• 弱い定式化設定において、2次確率的後向き SDE を用いて鞍点を特徴付けること。

提案手法

• 状態過程がブラウン運動によって駆動される経路に依存する SDE の弱解であるという意味で、確率的微分ゲームを弱く定式化する。
• 両プレイヤーに対して非予測的かつ逐次可測な制御を用いることで、単純型またはマルコフ型制御への制限を回避する。
• Ekren, Touzi, Zhang が提唱した経路に依存する粘性解の理論を用いて、非マルコフ型動的を扱う。
• Pham と Zhang の動的プログラミングの考え方にインspiredされ、上側および下側の価値関数を導出する。
• ゲーム価値と経路に依存する Isaacs–HJB 方程式の解との間の関係を確立する。
• 2次確率的後向き SDE を用いた検証的議論を用いて、鞍点を特徴付け、ゲーム価値が適切に定義されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路に依存する力学を持つゼロ和確率的微分ゲームにおいて、ゲーム価値が存在する条件は何か？
• RQ2 弱い定式化フレームワークは、古典的定式化に見られる非対称性と制御制限をどのように解消するか？
• RQ3 経路に依存する Isaacs 条件は、ゲーム価値の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 弱い定式化において、ゲーム価値は2次確率的後向き SDE を用いて特徴付けられるか？
• RQ5 経路に依存する HJB 方程式の粘性解の一意性は、ゲーム価値の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 経路に依存する Isaacs 条件が成り立ち、対応する経路に依存する HJB 方程式の粘性解が一意である限り、ゲーム価値は存在する。
• 弱い定式化により、強い解を要件としないフィードバック型制御が可能となり、先行研究における技術的制限を回避できる。
• ゲームの価値関数は、経路に依存する Isaacs–HJB 方程式の唯一の粘性解として特徴付けられる。
• 適切な2次確率的後向き SDE の概念を用いて鞍点が特徴付けられ、検証のメカニズムが提供される。
• 標準的な粘性解の一意性の下で、古典的マルコフ型設定が一般化される。テスト関数クラスは古典的ものも含む。
• フレームワークにより、ドリフトおよび拡散係数の両方において経路に依存する係数を扱えるようになり、マルコフ型または単純制御設定を越える。