[論文レビュー] Zolotarev Quadrature Rules and Load Balancing for the FEAST Eigensolver

Stefan Guettel, Eric Polizzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、大規模なスパース固有値問題におけるFEAST固有値ソルバーの収束速度と並列計算における負荷バランスを著しく向上させるために、従来のガウス則および台形則に代わるゾロタレフ則を提案する。符号関数の最適な有理近似を活用することで、固有値がうまく分離されていない場合や探索空間の次元が小さい場合でも、より速く、より予測可能な収束が達成される。

ABSTRACT

The FEAST method for solving large sparse eigenproblems is equivalent to subspace iteration with an approximate spectral projector and implicit orthogonalization. This relation allows to characterize the convergence of this method in terms of the error of a certain rational approximant to an indicator function. We propose improved rational approximants leading to FEAST variants with faster convergence, in particular, when using rational approximants based on the work of Zolotarev. Numerical experiments demonstrate the possible computational savings especially for pencils whose eigenvalues are not well separated and when the dimension of the search space is only slightly larger than the number of wanted eigenvalues. The new approach improves both convergence robustness and load balancing when FEAST runs on multiple search intervals in parallel.

研究の動機と目的

• 大規模なスパース一般化固有値問題に対して、FEAST固有値ソルバーの収束のロバスティックスと効率性を向上させること。
• 複数の探索区間を並列で実行する際、FEASTで生じる負荷の不均衡を解消すること。
• 従来の則（ガウス則、台形則）を、より優れたスペクトルフィルタリングが可能なゾロタレフに基づく有理近似関数に置き換えること。
• 最適な有理近似を通じて、理論的根拠に基づいた、解析的に予測可能な収束係数をFEASTに提供すること。
• 固有値がうまく分離されていない状況においても、高い精度を維持しながら探索空間の次元を低減できること。

提案手法

• FEAST法が、$ M = B^{-1}A $ における有理行列関数 $ r_m(M) $ を用いた暗黙的な直交化ステップを伴う部分空間反復と等価であることを導出する。
• 有理関数 $ r_m(z) $ による近似誤差を用いて、FEASTの収束をモデル化する。ここで、$ f(z) = 1/(2\bar{\rho}i) \int_{\Gamma} (\gamma - z)^{-1} d\gamma $ は、希望する固有値に射影する指標関数である。
• 符号関数に対する最適な近似としてのゾロタレフ有理関数を導入する。これらは、等ばらつき（equioscillation）と区間端での急峻な遷移が特徴である。
• ゾロタレフ理論に基づき、希望する固有値領域と不要な固有値領域において、理想ステップ関数からの最大偏差を最小化する有理フィルタを構築する。
• 標準的な則に基づく有理関数の代わりに、ゾロタレフに基づく関数をFEASTアルゴリズムに適用することで、スペクトル射影の精度を向上させる。
• これらのフィルタが、解析的に予測可能な収束係数をもたらし、無限遠点における減衰のない性質のおかげで、探索空間次元を低減できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FEAST固有値ソルバーの収束特性は、そのスペクトルプロジェクタに用いられる有理近似の品質にどのように依存するか？
• RQ2 フィルタ設計において最適性が知られているゾロタレフ有理関数は、ガウス則および台形則と比較して、FEASTにおける収束をより速く、よりロバストにするか？
• RQ3 FEASTが複数の探索区間を並列で処理する際、ゾロタレフベースのフィルタは負荷バランスをどの程度改善するか？
• RQ4 ゾロタレフフィルタの無限遠点における減衰のない性質は、FEASTにおける線形方程式系の解法の安定性および精度にどのような影響を及えるか？
• RQ5 ゾロタレフ則の極と重みは、実用的なFEAST実装における数値的条件数と収束にどのように影響するか？

主な発見

• ゾロタレフに基づくFEASTの変種は、固有値がうまく分離されていない場合や探索空間が希望する固有値数よりもわずかに大きい場合に、ガウス則および台形則よりも収束が速い。
• Caffeinep2行列では、$ m=8 $ の場合、区間 $[-711, -4]$ でガウス則の39回からゾロタレフ則の8回に、$[-4, 1.995]$ では5回から9回に減少した。これは、負荷バランスの向上を示している。
• $ m=32 $ の場合、ゾロタレフ則では最初の区間で3回、2番目の区間で2回の反復で済んだが、ガウス則ではそれぞれ5回と3回であった。収束は一貫しており、バランスが取れていた。
• ゾロタレフフィルタの区間端での急峻な遷移により、高い精度を維持しながらも、より小さな探索空間次元が可能となり、計算コストが削減された。
• ゾロタレフ法の収束係数は解析的に予測可能であり、異なる問題例においても安定している。これに対して、ガウス則は収束挙動が不規則になることがある。
• 数値実験では、極が実軸に近づいても不安定性の兆しなし。これは、重みが極の虚部に比例するため、線形方程式系の不正確さが相殺されていると考えられる。