[논문 리뷰] A Batalin-Vilkovisky Algebra structure on the Hochschild Cohomology of Truncated Polynomials

Tian Yang|arXiv (Cornell University)|2007. 07. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $ R[x]/(x^{n+1}) $에서의 Batalin-Vilkovisky (BV) 대수적 구조를 계산하며, 여기서 $ R = \bbZ $, 체 $ \bk $, 또는 $ \bbF_p $이며 $ p \neq 2 $이다. 이는 $ HH^*(C^*(\bbC P^n; R); C^*(\bbC P^n; R)) $의 BV 구조와 자유 루프 공간 호모로지 $ \bH_*(L\bbC P^n; R) $의 BV 구조가 BV 대수로서 동형이 아니라는 것을 보여주지만, 유도된 Gerstenhaber 구조는 동형임을 보이며, 모든 경우에 대해 BV 연산자 $ \Delta $와 Gerstenhaber 괄호의 명시적 공식을 제공한다. 이는 $ n = kp - 1 $인 특수한 $ p $- torsion 경우를 포함한다. 이는 $ \bbC P^n $과 $ \bbH P^n $의 유리수 루프 호모로지 BV 구조를 완전히 계산하는 데에 기여한다.

ABSTRACT

The main result of this paper is to calculate the Batalin-Vilkovisky structure of $HH^*(C^*(\mathbf{K}P^n;R);C^*(\mathbf{K}P^n;R))$ for $ \mathbf{K}=\mathbb{C}$ and $\mathbb{H}$, and $R=\mathbb{Z}$ and any field; and shows that in the special case when $M=\mathbb{C}P^1=S^2$, and $R=\mathbb{Z}$, this structure can not be identified with the BV-structure of $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{Z})$ computed by Luc Memichi in \cite{menichi2}. However, the induced Gerstenhaber structures are still identified in this case. Moreover, according to a recent work of Y.Felix and J.Thomas \cite{felix--thomas}, the main result of the present paper eventually calculates the BV-structure of the rational loop homology, $\mathbb{H}_*(L\mathbb{C}P^n;\mathbb{Q})$ and $\mathbb{H}_*(L\mathbb{H}P^n;\mathbb{Q})$, of projective spaces.

연구 동기 및 목표

• Truncated polynomial algebra $ A = R[x]/(x^{n+1}) $에서의 Batalin-Vilkovisky (BV) 대수적 구조를 $ HH^*(C^*(\bbC P^n; R); C^*(\bbC P^n; R)) $에서 계산하는 것, 여기서 $ R = \bbZ $, 임의의 체 $ \bk $, 또는 $ \bbF_p $이며 $ p \neq 2 $이다.
• Hochschild 코homology의 BV 구조가 자유 루프 공간 호모로지 $ \bH_*(L\bbC P^n; R) $의 BV 구조와 일치하는지 여부를 판단하는 것, 특히 $ \bbC P^1 = S^2 $ 및 $ R = \bbZ $인 경우를 포함한다.
• Cohen-Jones 동형에 의해 Hochschild 코호몰로지와 루프 호모로지 사이의 동형을 이용하여, 기존의 루프 호모로지 BV 구조 결과를 유리수 및 정수 계수로 확장하는 것.
• Luc Menichi의 추측, 즉 $ \bbC P^{p-1} $에서 $ \bbF_p $ 계수로 BV 구조가 동형이 아니라는 것을 $ p $-torsion 경우의 Hochschild 코호몰로지 계산을 통해 해결하는 것.
• 특히 $ p $-특성에서 $ n = kp - 1 $인 경우를 포함하여, $ A = R[x]/(x^{n+1}) $에 대해 $ HH^*(A; A) $의 BV 대수적 구조를 완전히 분류하는 것.

제안 방법

• 절단 다항식 대수 $ A = R[x]/(x^{n+1}) $의 2주기적 해체를 사용하며, $ |x| = 2m $로 둔다. 이로부터 코호모로지 복합체 $ C^*(A; A) $와 주기적 해체 $ P^* $ 사이의 체인 사상 $ \varphi^* $를 구성한다.
• HH^*(A; A)의 생성자를 $ x $, $ u $, $ t $ (특성 $ p $의 경우 $ v $)로 식별하며, 차수는 $ |x| = -2m $, $ |u| = -1 $, $ |t| = 2mn + 2(m-1) $, 특성 $ p $의 경우 $ |v| = 2m - 1 $이다.
• 모노미얼 $ t^k x^l $ 및 $ t^k u x^l $ (또는 $ t^k v x^l $)에 대해 BV 연산자 $ \Delta $를 명시적으로 계산하며, $ \Delta(t^k x^l) = 0 $ 및 $ \Delta(t^k u x^l) = (-(k+1)n - k + l) t^k x^l $임을 보이며, 특성 $ p $의 경우 $ n = kp - 1 $일 때 다른 공식을 가짐을 보인다.
• 해체에서의 쿠퍼 곱 계산을 통해 $ u^2 = 0 $ 및 $ v^2 = 0 $ (또는 $ \bbF_2 $에서 $ v^2 = \frac{n+1}{2} t x^{n-1} $)임을 직접 확인한다.
• $ M = \bbC P^1 = S^2 $인 경우를 적용하여, $ HH^*(C^*(S^2; \bbZ); C^*(S^2; \bbZ)) $가 BV 대수로서 $ \bH_*(LS^2; \bbZ) $와 동형이 아니지만, 그 유도된 Gerstenhaber 구조는 동형임을 보인다.
• Felix와 Thomas의 결과를 활용하여 계산을 유리수 루프 호모로지로 확장하며, $ \bH_*(L\bbC P^n; \bk) $와 $ \bH_*(L\bbH P^n; \bk) $가 Hochschild 코호몰로지 방식으로 계산된 것과 동일한 BV 대수적 구조를 가짐을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hochschild 코호몰로지의 Batalin-Vilkovisky 구조 $ HH^*(C^*(\bbC P^n; \bbZ); C^*(\bbC P^n; \bbZ)) $가 자유 루프 공간 호모로지 $ \bH_*(L\bbC P^n; \bbZ)) $의 BV 구조와 동형인지 여부는 무엇인가?
• RQ2 특성 $ p $에서 $ A = \bbF_p[x]/(x^{n+1}) $의 $ HH^*(A; A) $에서 $ n = kp - 1 $일 때 BV 대수적 구조는 어떻게 다를까? 그리고 $ p $-torsion이 대수적 관계를 어떻게 수정하는가?
• RQ3 Hochschild 코호몰로지의 BV 구조 $ HH^*(C^*(\bbC P^n; \bk); C^*(\bbC P^n; \bk)) $를 사용하여 유리수 루프 호모로지 BV 구조 $ \bH_*(L\bbC P^n; \bk) $를 계산할 수 있으며, 이 계산이 기존 결과와 일치하는가?
• RQ4 특성 0 또는 $ p \neq 2 $에서 $ R = \bbZ $ 또는 $ \bk $인 경우, 모노미얼 $ t^k x^l $ 및 $ t^k u x^l $에 대한 BV 연산자 $ \Delta $의 명시적 공식은 무엇이며, 특성 $ p $일 때는 어떻게 변하는가?
• RQ5 HH^*(A; A)의 Gerstenhaber 괄호가 $ \bH_*(L\bbC P^n; \bk) $의 스트링 괄호와 일치하는가? 그리고 전체 BV 구조가 동형이 아니더라도 이 동형성은 유지되는가?

주요 결과

• 특성 0 또는 $ p \neq 2 $인 체 $ \bk $ 또는 $ R = \bbZ $일 때, $ A = R[x]/(x^{n+1}) $에 대해 Hochschild 코호몰로지 $ HH^*(A; A) $는 $ R[x, u, t]/(x^{n+1}, u^2, x^n t, u x^n) $로 이루어진 BV 대수와 동형이며, $ |x| = -2m $, $ |u| = -1 $, $ |t| = 2mn + 2(m-1) $이며, $ \Delta(t^k x^l) = 0 $, $ \Delta(t^k u x^l) = (-(k+1)n - k + l) t^k x^l $이다.
• 특성 $ p $에서 $ n = kp - 1 $일 때, BV 대수적 구조는 $ \bbF_p[x, v, t]/(x^{kp}, v^2) $이며, $ |x| = -2m $, $ |v| = 2m - 1 $, $ |t| = 2mn + 2(m-1) $이며, $ \Delta(t^k x^l) = 0 $, $ \Delta(t^k v x^l) = l t^k x^{l-1} $이다.
• $ R = \bbF_2 $일 때, $ n $ 이외일 경우 $ \bbF_2[x, u, t]/(x^{n+1}, u^2, x^n t, u x^n) $이며, $ \Delta(t^k u x^l) = (-k + l) t^k x^l $; $ n $ 이면 $ \bbF_2[x, v, t]/(x^{n+1}, v^2 - \frac{n+1}{2} t x^{n-1}) $이며, $ \Delta(t^k v x^l) = l t^k x^{l-1} $이다.
• $ \bbC P^1 = S^2 $ 및 $ R = \bbZ $일 때, $ HH^*(C^*(S^2; \bbZ); C^*(S^2; \bbZ)) $의 BV 대수는 $ \bH_*(LS^2; \bbZ) $와 동형이 아니지만, 그 유도된 Gerstenhaber 구조는 동형이다.
• 주요 결과로 $ \bH_*(L\bbC P^n; \bk) $ 및 $ \bH_*(L\bbH P^n; \bk) $의 BV 구조를 임의의 체 $ \bk $에서 완전히 계산하였으며, 이는 $ \bk[x, u, t]/(x^{n+1}, u^2, x^n t, u x^n) $와 동형이며, $ |x| = -2 $, $ |u| = -1 $, $ |t| = 2n $이며, 동일한 $ \Delta $-공식을 가짐을 보였다.
• 논문은 Luc Menichi의 추측을 확인하였으며, $ \bH_*(L\bbC P^{p-1}; \bbF_p) $가 $ HH^*(H^*(\bbC P^{p-1}; \bbF_p); H^*(\bbC P^{p-1}; \bbF_p)) $와 BV 대수로서 동형이 아니라는 것을 $ p $-torsion 경우의 Hochschild 코호몰로지 계산을 통해 입증하였다.