[논문 리뷰] A cubical model for $(\infty, n)$-categories

Tim Campion, Chris Kapulkin외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 연결을 가진 마킹된 입방체 집합을 사용하여 $(\infty,n)$-범주의 새로운 모델을 제안하며, 릿지 및 편의 그레이 텐서 곱과 모두 호환되는 단순한 모델 구조를 수립한다. 주요 기여는 전단계적 구조를 갖는 전단계적 집합으로 가는 강력한 단위 보존, 왼쪽 퀼렌 삼각형 함수를 제공하며, 기존의 모델들과의 퀄렌 동치를 증명함으로써 파생 대수기하학의 기초적 진술들을 검증한다.

ABSTRACT

We propose a new model for the theory of $(\infty,n)$-categories (including the case $n=\infty$) in the category of marked cubical sets with connections, similar in flavor to complicial sets of Verity. The model structure characterizing our model is shown to be monoidal with respect to suitably defined (lax and pseudo) Gray tensor products; in particular, these tensor products are both associative and biclosed. Furthermore, we show that the triangulation functor to pre-complicial sets is a left Quillen functor and is strong monoidal with respect to both Gray tensor products.

연구 동기 및 목표

• 입방체 집합과 연결, 마킹을 사용하여 $(\infty,n)$-범주에 대한 새로운, 조합적으로 다룰 수 있는 모델을 개발한다.
• 입방체 설정에서 릿지 및 편의 그레이 텐서 곱을 정의하고 연구하며, 그들의 본질적인 입방체 자연성을 활용한다.
• 모형 구조를 마킹된 입방체 집합에 정의하여, 코프리즈미즘은 단사함수이고, 피브란트 객체는 코미컬 집합이 되도록 한다.
• 입방체에서 단체 집합으로의 삼각형 함수를 구성하여, 그레이 텐서 곱과 같은 핵심 범주적 구조를 유지한다.
• 새로운 입방체 모델과 기존의 모델(예: $n$-비트리비티 포화된 복잡한 집합) 사이의 퀄렌 동치를 증명한다. 이는 고차 범주론의 기초적 결과들을 검증한다.

제안 방법

• 연결을 가진 마킹된 입방체 집합을 도입하며, 특정 조합 조건을 만족하는 피브란트 객체로서 코미컬 집합을 정의한다.
• 마킹된 입방체 집합 위에서 릿지 및 편의 그레이 텐서 곱을 정의하고, 이들이 결합법칙을 만족하고 이중폐쇄임을 보인다.
• 코프리즈미즘이 단사함수이고, 피브란트 객체가 코미컬 집합이 되는 모형 구조를 구성한다. 이는 올쇼크의 조합적 모형 구조 프레임워크를 활용한다.
• 표준 삼각형 함수 $T$를 입방체 집합에서 마킹된 입방체 집합으로 확장하여, 전단계적 집합의 범주로 사상한다.
• 삼각형 함수 $T$가 두 그레이 텐서 곱에 관해 강력한 단위 보존임을 증명하며, 그들의 대수적 성질을 유지한다.
• 삼각형 함수 $T$가 왼쪽 퀄렌 함수임을 보이며, 입방체 모델과 복잡한 집합 모델 사이의 퀄렌 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입방체 모델은 릿지 및 편의 그레이 텐서 곱을 자연스럽게 지원할 수 있는가?
• RQ2 마킹된 입방체 집합에서 전단계적 집합으로의 삼각형 함수가 그레이 텐서 곱의 구조를 유지하는가?
• RQ3 코미컬 집합을 통한 $(\infty,n)$-범주 모델은 릿지 및 편의 그레이 곱 모두와 호환되는 모형 구조를 갖는가?
• RQ4 삼각형 함수가 입방체 모델과 표준 복잡한 집합 모델 사이의 퀄렌 동치로 작용하는가?
• RQ5 새로운 입방체 구성은 $(\infty,2)$-범주에 관한 이전에 증명되지 않은 유도 대수기하학의 진술들을 검증하는가?

주요 결과

• 연결을 가진 마킹된 입방체 집합의 범주는 코프리즈미즘이 단사함수이고 피브란트 객체가 코미컬 집합인 조합적 모형 구조를 갖는다.
• 이 모델에서의 릿지 및 편의 그레이 텐서 곱은 모두 결합법칙을 만족하고 이중폐쇄이므로, 이 모델은 모형 구조를 갖는다.
• 삼각형 함수 $T: \text{cSet}^+ \to \text{PreComp}$ 는 두 그레이 텐서 곱에 관해 강력한 단위 보존이며, 그들의 대수적 성질을 유지한다.
• 삼각형 함수는 왼쪽 퀄렌 함수이며, 입방체 모델과 $n$-비트리비티 포화 복잡한 집합의 모형 구조 사이의 퀄렌 동치를 확립한다.
• 이 모델은 [GR17a]에서 $(\infty,2)$-범주에 관해 이전에 증명되지 않은 핵심 진술들을 검증하며, 구체적이고 동치인 프레임워크를 제공한다.
• 삼각형 함수를 통한 퀄렌 동치는 [DKM23]에서 확인되었으며, 이는 $n=0,1$에 대한 이전 결과를 확장한다.