[논문 리뷰] A Heuristic Method to solve large-scale Integer Linear Programs by combining Branch-and-Price with a Quantum Algorithm

Marika Svensson, Martin Andersson외 5명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 29.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대규모 정수선형계획문제, 특히 테일 할당 문제를 해결하기 위해 브랜치 앤 프라이싱 프레임워크에 양자 알고리즘—특히 QAOA—를 통합하는 하이브리드 양자-고전적 접근을 제안한다. QAOA를 사용해 하위 문제를 효율적으로 해결함으로써 알고리즘 깊이를 감소시키고 해의 품질을 향상시켜, 다항수준의 양자 회로가 실현 가능한 경우 실용성을 입증한다.

ABSTRACT

We present a method that integrates any quantum algorithm capable of finding solutions to integer linear programs into the Branch-and-Price algorithm, which is regularly used to solve large-scale integer linear programs with a specific structure. The role of the quantum algorithm is to find integer solutions to subproblems appearing in Branch-and-Price. Obtaining optimal or near-optimal integer solutions to these subproblems can increase the quality of solutions and reduce the depth and branching factor of the Branch-and-Price algorithm and hence reduce the overall running time. We investigate the viability of the approach by considering the Tail Assignment problem and the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA). Here, the master problem is the optimization problem Set Partitioning or its decision version Exact Cover and can be expressed as finding the ground state of an Ising spin glass Hamiltonian. For Exact Cover, our numerical results indicate that the required algorithm depth decreases with the number of feasible solutions for a given success probability of finding a feasible solution. For Set Partitioning, on the other hand, we find that for a given success probability of finding the optimal solution, the required algorithm depth can increase with the number of feasible solutions if the Hamiltonian is balanced poorly, which in the worst case is exponential in the problem size. We therefore address the importance of properly balancing the objective and constraint parts of the Hamiltonian. We empirically find that the approach is viable with QAOA if polynomial algorithm depth can be realized on quantum devices.

연구 동기 및 목표

• 대규모 정수선형계획문제를 효율적으로 해결하기 위한 하이브리드 양자-고전적 방법을 개발하는 것.
• 브랜치 앤 프라이싱 프레임워크에서 하위 문제를 해결할 수 있는 양자 알고리즘을 통합하는 것.
• 테일 할당 문제의 맥락에서 QAOA를 하위 문제 해결에 사용할 수 있는지의 실용성을 평가하는 것.
• 해밀토니안 균형이 성공에 필요한 양자 회로 깊이에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 다항수준의 양자 알고리즘이 이 하이브리드 접근법을 실용적으로 만들 수 있는지 결정하는 것.

제안 방법

• 브랜치 앤 프라이싱에서 발생하는 하위 문제를 해결하기 위해 브랜치 앤 프라이싱과 양자 알고리즘을 결합하는 방법.
• 마스터 문제는 집합 분할 또는 정확한 커버로 모델링되며, 이는 이징 스핀 거친 해밀토니안의 기초 상태를 찾는 것으로 해석된다.
• 하위 문제는 QAOA로 해결되며, 목적 함수와 제약 조건 부분의 해밀토니안을 신중하게 균형 잡아 필요한 회로 깊이를 감소시킨다.
• 가능한 해의 수와 회로 깊이에 따라 타당 또는 최적 해를 찾는 데 성공 확률을 분석한다.
• 수치 실험을 통해 다양한 문제 조건에서 주어진 성공 확률을 달성하기 위해 필요한 알고리즘 깊이를 평가한다.
• 테일 할당 문제에 대해 정확한 커버 및 집합 분할 공식화를 사용해 방법을 시험한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QAOA는 대규모 정수선형계획문제를 해결하기 위해 브랜치 앤 프라이싱 알고리즘에 효과적으로 통합될 수 있는가?
• RQ2 가능한 해의 수가 주어진 성공 확률을 달성하기 위해 필요한 양자 회로 깊이에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 해밀토니안 균형이 나쁘면 최적 해 복구에 필요한 알고리즘 깊이에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 어떤 조건에서 하이브리드 접근법이 브랜치 앤 프라이싱의 전체 실행 시간을 줄일 수 있는가?
• RQ5 양자 장치가 다항수준의 회로만 실현할 수 있다면 이 방법은 실용적인가?

주요 결과

• 정확한 커버 문제의 경우, 고정된 성공 확률에서 가능성이 많은 해를 가질수록 필요한 알고리즘 깊이가 감소한다.
• 집합 분할 문제의 경우, 해밀토니안 균형이 나쁘면 가능성이 많은 해를 가질수록 필요한 깊이가 증가할 수 있으며, 최악의 경우 지수적으로 증가할 수 있다.
• 목적 함수와 제약 조건 부분의 해밀토니안을 적절히 균형 잡는 것이 필요한 양자 회로 깊이를 최소화하는 데 핵심적이다.
• 양자 장치가 다항수준의 회로를 실현할 수 있다면 QAOA를 활용한 하이브리드 접근법은 실용적이다.
• 이 방법은 해의 품질을 향상시키고 브랜치 앤 프라이싱의 분기 계수와 깊이를 감소시켜 수렴 속도 향상 가능하다.
• 수치 결과는 회로 깊이가 관리 가능한 경우 양자 하위 문제 해결이 고전적 분해 방법의 성능을 향상시킬 수 있음을 확인한다.