[논문 리뷰] A Locking-Free Weak Galerkin Finite Element Method for Elasticity Problems in the Primal Formulation

Chunmei Wang, Junping Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 16.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반 다각형/다면체 메esh에서 선형 탄성 문제의 원형 설정에 대해 锁定-free이고 임의의 순서의 약한 갈레르킨 유한요소법을 제시한다. 각 요소에서 국소 문제를 통해 이산 약한 변형률 및 응력 텐서를 도입함으로써, $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 최적 수렴성을 확보하였으며, 압축성에 가까운 극한 조건을 포함한 다양한 푸아송 비에서 안정적인 성능을 보였다.

ABSTRACT

This paper presents an arbitrary order locking-free numerical scheme for linear elasticity on general polygonal/polyhedral partitions by using weak Galerkin (WG) finite element methods. Like other WG methods, the key idea for the linear elasticity is to introduce discrete weak strain and stress tensors which are defined and computed by solving inexpensive local problems on each element. Such local problems are derived from weak formulations of the corresponding differential operators through integration by parts. Locking-free error estimates of optimal order are derived in a discrete $H^1$-norm and the usual $L^2$-norm for the approximate displacement when the exact solution is smooth. Numerical results are presented to demonstrate the efficiency, accuracy, and the locking-free property of the weak Galerkin finite element method.

연구 동기 및 목표

• 푸아송 비가 0.5에 수렴할 때에도 정확도를 유지하는 강건하고 锁定-free인 선형 탄성 문제를 위한 유한요소법을 개발하기 위해.
• 일반 다각형/다면체 분할에서 임의의 다항식 차수를 가진 선형 탄성 문제의 원형 설정에 대해 약한 갈레르킨 유한요소법을 확장하기 위해.
• 라메 상수 $\lambda$에 관계없이 부드러운 해에 대해 이산 $H^1$-노름과 $L^2$-노름에서 최적 수렴률을 확보하기 위해.
• 균일하고 비균일한 다각형 메쉬에서의 수치 실험을 통해 방법의 강건성과 정확성을 입증하기 위해.
• 재료 매개변수 $\lambda$에 독립적인 锁定-free 오차 추정을 철저히 제공하기 위해.

제안 방법

• 각 요소에서 적분을 통한 부분적 통합을 통해 국소 변분 문제를 정의함으로써 이산 약한 기울기와 약한 변형률을 정의하는 약한 갈레르킨 유한요소 기법을 적용하였다.
• 각 요소에서 저비용의 국소 문제를 풀어 이산 약한 변형률 및 응력 텐서를 계산함으로써 미분 연산자의 국소 재구성 가능성을 확보하였다.
• 이동자에 대한 혼합 유한요소 유사한 약한 설정을 사용하여 전역 이산 시스템을 구성하였으며, 이는 요소 및 변(면)에서 이산 다항식 공간을 통해 이동을 근사함으로써 이루어졌다.
• 두 종류의 유한요소 공간을 사용하였는데, $V_h$는 $P_k(T)/P_{RM}(e)$ 기반이고, $\bar{V}_h$는 $P_k(T)/P_k(e)$ 기반으로, 서로 다른 근사 차수를 제공하였다.
• 이산 이차형은 대칭 응력-변형률 관계와 힘의 균형을 약하게 강제함으로써 안정성과 일致성을 확보하였다.
• 이 방법은 혼합 변수를 도입하지 않고 직접 이동을 구하는 원형 설정으로 제작되었으며, 동시에 锁定-free 행동을 유지하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 다각형/다면체 메쉬에서 임의의 다항식 차수를 가진 선형 탄성 문제의 원형 설정에 대해 锁定-free인 약한 갈레르킨 유한요소법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 방법이 라메 상수 $\lambda$에 관계없이 부드러운 해에 대해 $H^1$- 및 $L^2$-노름에서 최적 수렴률을 달성하는가?
• RQ3 푸아송 비가 0.5에 수렴할 때, 즉 거의 불압축성 영역에서 방법의 수치적 성능은 어떠한가?
• RQ4 연속성 요구 조건 없이도 안정성과 최적 수렴성을 보장할 수 있도록 이산 약한 기울기 및 변형률 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ5 정확한 해가 부드럽고 라메 상수 $\lambda$가 넓은 범위에서 변화할 때 방법의 수렴 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 이동 근사에 대해 이산 $H^1$-노름에서 순서 $k+1$ 및 $L^2$-노름에서 순서 $k+1$의 최적 수렴률을 확보하였다. 여기서 $k$는 다항식 차수이다.
• 수치 결과는 $\lambda = 1, 100, 10,000, 1,000,000$의 모든 테스트 값에서 수렴률이 최적이고 안정적임을 보여주며, 锁定-free 성질을 확인하였다.
• 모양 $V_h$에 대해 $P_1(T)/P_{RM}(e)$를 사용할 경우, $L^2$-오차는 약 1.96–1.98의 순서로 수렴하고, $H^1$-노름 오차는 1.91–1.96의 순서로 수렴하여 최적 순서에 가까워졌다.
• 모양 $\bar{V}_h$에 대해 $P_1(T)/P_1(e)$를 사용할 경우, $L^2$-오차는 약 1.96–1.98의 순서로 수렴하고, $H^1$-노름 오차는 1.90–1.96의 순서로 수렴하여 다시 최적 수렴에 가까워졌다.
• 이산 에너지 노름 $|||\mathbf{u}_h - Q_h\mathbf{u}|||$는 약 0.97–0.99의 순서로 수렴하여 에너지 유사 오차 측정에서의 강건성을 나타내었다.
• 메쉬 세분화 및 라메 매개변수의 변화에 관계없이 일관된 수렴 행동을 유지하였으며, $\lambda \to \infty$로 갈수록 정확도가 떨어지지 않아 锁定이 존재하지 않음을 확인하였다.