[논문 리뷰] A machine learning accelerated FE$^2$ homogenization algorithm for elastic solids

Saumik Dana, Mary F. Wheeler|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 21.

Composite Material Mechanics참고 문헌 28인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 유한요소법 기반의 FE² 균질화 프레임워크를 기계학습 기반으로 가속화하여 탄성 고체의 균질화를 수행한다. 이는 실시간으로 RVE(소규모 유한요소 해석)를 수행하는 대신, 매크로스케일 변형률 텐서를 균질화된 제1피콜라-키르히호프 응력으로 매핑하는 훈련된 신경망을 도입함으로써 계산 비용을 감소시킨다. 이 방법은 주기적 경계 조건과 데이터 기반 RVE 반응 예측을 통해 정확성을 유지하면서도 FE²를 효과적으로 FE¹ 알고리즘으로 전환함으로써 계산 비용을 절감한다.

ABSTRACT

The FE$^2$ homogenization algorithm for multiscale modeling iterates between the macroscale and the microscale (represented by a representative volume element) till convergence is achieved at every increment of macroscale loading. The information exchange between the two scales occurs at the gauss points of the macroscale finite element discretization. The microscale problem is also solved using finite elements on-the-fly thus rendering the algorithm computationally expensive for complex microstructures. We invoke machine learning to establish the input-output causality of the RVE boundary value problem using a neural network framework. This renders the RVE as a blackbox which gets the information from the macroscale as an input and gives information back to the macroscale as output, thereby eliminating the need for on-the-fly finite element solves at the RVE level. This framework has the potential to significantly accelerate the FE$^2$ algorithm.

연구 동기 및 목표

• 매우 높은 계산 비용을 유발하는 전통적인 FE² 균질화의 문제를 해결하기 위해, 매크로스케일 가우스 점마다 반복적으로 실시간으로 RVE 유한요소 해석을 수행하는 것을 줄이기 위함.
• RVE 경계값 문제의 입력-출력 관계를 정확히 기록하는 데이터 기반 대체 모델을 신경망을 활용해 개발하기 위함.
• RVE에 주기적 경계 조건을 적용하여 힐-만델 조건을 만족시키고 스케일 간 에너지 등가성을 확보함으로써 정확성과 일관성을 유지하기 위함.
• 반복적인 RVE 해석을 제거함으로써 다스케일 시뮬레이션의 속도를 크게 향상시키고, 실제로 FE²를 FE¹ 프레임워크로 전환하기 위함.
• 표준 균질화 관행과의 호환성을 확보하기 위해 대칭적인 미세구조적 특성을 가진 2D RVE에서 프레임워크를 검증하기 위함.

제안 방법

• 매크로스케일 변형률 텐서를 입력으로, 균질화된 제1피콜라-키르히호프 응력을 출력으로 내보내는 1-3-1 피드포워드 신경망을 훈련한다.
• RVE는 유한요소로 메esh하고, 데이터 수집 단계 동안 기존의 FE² 해석을 통해 변형률-응력 쌍의 대규모 데이터셋을 생성한다.
• Hill-Mandel 조건을 만족시키고 스케일 간 에너지 등가성을 확보하기 위해 RVE에 주기적 경계 조건을 적용한다.
• 비선형 응력 반응을 모델링하기 위해 역전파 알고리즘과 시그모이드 등의 활성화 함수를 사용하여 신경망을 훈련한다.
• 훈련된 신경망이 FE² 루프 내에서 RVE 해석기로 대체되어, 매크로스케일 가우스 점마다 균질화된 응력을 직접 예측할 수 있도록 한다.
• 프레임워크는 매크로스케일에서의 유한요소 메쉬를 유지하면서도, 마이크로스케일 반응 계산의 속도를 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기계학습 기반 대체 모델이 탄성 고체의 FE² 균질화에서 실시간 RVE 유한요소 해석을 정확하게 대체할 수 있는가?
• RQ2 신경망을 도입함으로써 정확성을 훼손하지 않으면서도 FE² 알고리즘의 계산 효율성은 어떻게 향상되는가?
• RQ3 주기적 경계 조건이 RVE 반응에 대한 신경망 대체 모델의 훈련과 일반화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 반복적인 RVE 해석을 제거함으로써 프레임워크를 효과적으로 FE¹ 유사 알고리즘으로 줄일 수 있는가?
• RQ5 데이터 기반 RVE 모델이 다양한 변형률과 미세구조적 구성 요소에 대해 얼마나 잘 일반화되는가?

주요 결과

• 제안된 기계학습 기반 가속화 FE² 프레임워크는 실시간 RVE 유한요소 해석이 필요 없어져 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• 신경망 대체 모델은 변형률 텐서에서 균질화된 제1피콜라-키르히호프 응력을 정확하게 예측하여 원래의 FE² 해석 결과와 높은 정밀도를 확보한다.
• 주기적 경계 조건을 적용함으로써 에너지 일관성이 유지되고 스케일 간 힐-만델 조건이 충족된다.
• 이 방법은 루프 내에서 뿐만 아니라 시뮬레이션 중에 매크로스케일 유한요소 해석만 수행하면 되므로, 실제로 FE² 알고리즘을 FE¹ 유사 프레임워크로 전환한다.
• 이전에는 계산 부담으로 인해 실현 가능하지 않았던 복잡한 미세구조를 갖는 다스케일 모델링이 가능해진다.
• 대칭적인 특성을 가진 2D RVE에 대해 프레임워크는 일반화 가능하며, 주기적 경계 조건 적용과 데이터 효율적인 훈련을 용이하게 한다.