[논문 리뷰] A posteriori error estimates for finite element approximations of the Cahn-Hilliard equation and the Hele-Shaw flow

Xiaobing Feng, Haijun Wu|ArXiv.org|2007. 08. 15.

Solidification and crystal growth phenomenaMaterials Science참고 문헌 40인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 캤-힐리아르 방정식과 그 날카운 계면 극한인 힐레-쇼우 흐름에 대한 유한요소 근사에 대해 잔여형 사후 오차 추정을 개발한다. 주요 기여는 $ε^{-1}$에 대한 다항수준의 오직 낮은 다항식 순서에 의존하는 강건한 오차 경계를 제공함으로써, 미세한 계면을 효율적으로 해상하는 최적 수렴률을 달성할 수 있는 효과적인 적응형 유한요소 알고리즘을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper develops a posteriori error estimates of residual type for conforming and mixed finite element approximations of the fourth order Cahn-Hilliard equation $u_t+\De\bigl(\eps \De u-\eps^{-1} f(u)\bigr)=0$. It is shown that the {\it a posteriori} error bounds depends on $\eps^{-1}$ only in some low polynomial order, instead of exponential order. Using these a posteriori error estimates, we construct an adaptive algorithm for computing the solution of the Cahn-Hilliard equation and its sharp interface limit, the Hele-Shaw flow. Numerical experiments are presented to show the robustness and effectiveness of the new error estimators and the proposed adaptive algorithm.

연구 동기 및 목표

• 적응형 및 혼합 유한요소 방법을 Cahn-Hilliard 방정식에 적용한 신뢰할 수 있는 사후 오차 추정기를 개발하는 것.
• $\varepsilon^{-1}$에 대한 지수적 의존성이 아닌 다항식 순서에만 의존하는 오차 경계를 확립하는 것.
• Cahn-Hilliard 방정식과 그 Hele-Shaw 극한에 기반한 사후 오차 추정을 바탕으로 한 적응형 유한요소 알고리즘을 구축하는 것.
• 다양한 초기 조건과 $\varepsilon$ 값에서의 벤치마크 문제를 대상으로 수치 실험을 통해 오차 추정기와 적응형 알고리즘의 강건성과 효율성을 입증하는 것.

제안 방법

• Cahn-Hilliard 방정식의 적응형 및 혼합 유한요소 근사에 대한 잔여형 사후 오차 추정을 유도하는 것.
• 오차 경계가 작은 매개변수 $\varepsilon$에 어떻게 의존하는지 분석하여, $\varepsilon^{-1}$에 대한 지수적 스케일링이 아닌 다항식 스케일링임을 보이는 것.
• 사후 오차 지표에 기반해 요소를 정밀하게 조정하여 미세한 계면을 정확히 해상하는 적응형 알고리즘을 구축하는 것.
• 오차 추정 및 적응 과정에서 핵심적인 역할을 하는 화학적 위치 에너지 $w^\varepsilon = -\varepsilon \Delta u^\varepsilon + \varepsilon^{-1}f(u^\varepsilon)$ 를 활용하는 것.
• asymptotic 분석을 통해 $\varepsilon \to 0$ 일 때 Cahn-Hilliard 방정식과 그 날카운 계면 극한(Hele-Shaw 흐름)에 모두 이 방법을 적용하는 것.
• 다양한 초기 조건과 $\varepsilon$ 값에서의 벤치마크 문제에 대해 적응형 알고리즘을 구현하고 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Cahn-Hilliard 방정식의 유한요소 해에 대해 $\varepsilon \to 0$ 일 때에도 강건한 사후 오차 추정기를 구성할 수 있는가?
• RQ2 오차 경계가 $\varepsilon^{-1}$에 대해 지수적 의존성인지, 다항식 순서에만 의존하는가?
• RQ3 Cahn-Hilliard 모델의 얇은 미세 계면을 효율적으로 해상할 수 있는 적응형 유한요소 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ4 해의 영점 등고선에 대해 적응형 방법이 달성하는 수렴률은 무엇인가?
• RQ5 자유도와 정확도 측면에서 적응형 방법은 균일한 메esh 조정에 비해 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 사후 오차 추정기는 $\varepsilon^{-1}$에 대해 다항식 의존성만 보이며, 지수적 증가를 피함으로써 작은 $\varepsilon$에 대해 강건함을 보장한다.
• 적응형 알고리즘은 균일한 메쉬 조정에 비해 자유도를 크게 줄이며, 미세한 계면을 성공적으로 해상한다.
• 테스트 1에서 영점 등고선의 수렴률은 약 $O(1/\mathcal{N}^2)$이며, $\mathcal{N}$은 자유도의 수이다.
• TOL=0.01일 때, 적응형 방법은 $t=0.01$에 $\mathcal{N}_{0.01} = 12,565$ 개의 자유도를 사용하는 반면, 균일한 메쉬 조정은 약 118만 개의 자유도가 필요하다.
• 테스트 2에서는 적응형 방법이 최소 면적 $1.2207 \times 10^{-4}$를 가진 2,520개의 초기 요소를 사용하는 반면, 균일한 메쉬 조정은 약 32,768개의 요소가 필요하다.
• 테스트 3에서는 적응형 방법이 최소 면적 $3.0518 \times 10^{-5}$를 가진 4,072개의 초기 요소를 사용하는 반면, 균일한 메쉬 조정은 약 131,072개의 요소가 필요하다.