[논문 리뷰] A program to test the p-rationality of any number field

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $p$-정합성의 정의가 단일 비가역 다항식으로 정의된 수체 $K$에 대해 빠른 PARI/GP 프로그램을 제시한다. 이는 $p^2$ 모듈로의 레이 클라스군(또는 $p=2$일 경우 8)을 특성으로 사용한다. 주요 기여는 $p$-정합성을 효율적으로 검증할 수 있는 계산 도구를 제공함으로써, 갈루아 표현 이론과 이와사와 이론에 대한 추측을 뒷받침하며, 이중 수체와 $p$-정합성 밀도에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let K be a number field. We prove that its ray class group modulo p 2 (resp. 8) if p > 2 (resp. p = 2) characterizes its p-rationality. Then we give two short, very fast PARI Programs (§§3.1, 3.2) testing if K (defined by an irreducible monic polynomial) is p-rational or not. For quadratic fields we verify some densities related to Cohen-Lenstra-Martinet ones and analyse Greenberg's conjecture on the existence of p-rational fields with Galois groups (Z/2Z) t needed for the construction of some Galois representations with open image. We give examples for p = 3, t = 5 and t = 6 (§§5.1, 5.2) and illustrate other approaches (Pitoun-Varescon, Barbulescu-Ray). We conclude about the existence of imaginary quadratic fields, p-rational for all p $\ge$ 2 (Angelakis-Stevenhagen on the concept of "minimal absolute abelian Galois group") which may enlighten a conjecture of p-rationality (Hajir-Maire) giving large Iwasawa $μ$-invariants of some uniform prop groups. R{é}sum{é} Soit K un corps de nombres. Nous montrons que son corps de classes de rayon modulo p 2 (resp. 8) si p > 2 (resp. p = 2) caract{é}rise sa p-rationalit{é}. Puis nous donnons deux courts programmes PARI (§§3.1, 3.2) trs rapides testant si K (d{é}fini par un polyn{ô}me irr{é}ductible uni-taire) est p-rationnel ou non. Pour les corps quadratiques nous v{é}rifions certaines densit{é}s en relation avec celles de Cohen-Lenstra-Martinet et nous analysons la conjecture de Greenberg sur l'existence de corps p-rationnels de groupes de Galois (Z/2Z) t n{é}cessaires pour la construction de certaines repr{é}sentations galoisiennes d'image ouverte. Nous donnons des exemples pour p = 3, t = 5 et t = 6 (§§5.1, 5.2) et il-lustrons d'autres approches (Pitoun-Varescon, Barbulescu-Ray). Nous concluons sur l'existence de corps quadratiques imaginaires p-rationnels pour tout p $\ge$ 2 (Angelakis-Stevenhagen sur le concept de "groupe de Galois ab{é}lien absolu minimal") qui peut{é}clairerpeut{é}clairer une conjecture de p-rationalit{é} (Hajir-Maire) donnant de grands invariants $μ$ d'Iwasawa relatifs {à} certains prop -groupes uniformes.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 $p$-진 구조를 가진 수체에 대해 $p$-정합성을 테스트하는 실용적인 계산 방법을 개발한다.
• 코헨–렌스트라–마르티네의 히우리스틱과 관련된 이중 수체에서의 $p$-정합성 밀도에 대한 이론적 예측을 검증한다.
• $p=3$일 때 $t=5,6$에 대해 갈루아 군 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^t$를 가진 $p$-정합성 수체의 명시적 예를 제시하여 그린버그의 추측을 뒷받침한다.
• 모든 $p \geq 2$에 대해 $p$-정합성인 허수 이중 수체가 존재하는지 탐색하며, 최소 절대 아벨 갈루아 군 개념과 연결한다.
• 헤이지르–메어의 추측에 따라, 균일한 프로-$p$ 군에서 큰 이와사와 $\mu$-인variants와 $p$-정합성 간의 연결 고리를 설정한다.

제안 방법

• 논문은 $p$-정합성의 특성으로서 $p^2$ 모듈로의 레이 클라스군을 사용하여 전체 클래스 체계 이론 계산이 필요 없도록 한다.
• 섹션 3.1과 3.2에 기술된 두 개의 짧고 매우 최적화된 PARI/GP 프로그램을 구현하여 관련 레이 클라스군을 계산하고, 순환군 $\mathcal{T}_K$의 자명성 여부를 테스트한다.
• 이 방법은 다음 등가성에 기반한다: $K$는 $p$-정합성 $\iff$ 루프르트의 추측이 성립하고 $\mathcal{T}_K = 1$, 여기서 $\mathcal{T}_K = \mathrm{tor}_{\mathbb{Z}_p}(\mathrm{Gal}(H_K^{\rm pr}/K))$이다.
• 정확한 수열을 통해 정규화된 $p$-진 조정자 $\mathcal{R}_K$를 계산한다: $1 \to \mathcal{W}_K \to \mathrm{tor}_{\mathbb{Z}_p}(U_K / \overline{E}_K) \xrightarrow{\log} \mathcal{R}_K \to 0$, 이는 $p$-정합성과 단위수의 $p$-진 로그 간의 연결 고리를 제공한다.
• 갈루아 수체의 경우, $U_K^\Sigma$의 구조와 $\overline{E}_K$와의 교차를 이용하여 레이 클라스군 내의 분열과 순환군을 분석한다.
• 이 접근법은 클래스 체계 이론과 $p$-진 로그 사상에 기반하여, $p$-정합성 테스트를 $\mathbb{Z}_p$-모듈에서의 유한한 계산으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 비가역 다항식으로 정의된 임의의 수체의 $p$-정합성을 레이 클라스군 모듈로 $p^2$를 사용해 효율적으로 테스트할 수 있는가?
• RQ2 어느 정도의 $p$-정합성 이중 수체 밀도가 존재하며, 이는 코헨–렌스트라–마르티네 히우리스틱과 일치하는가?
• RQ3 그린버그의 추측이 요구하는 lin $p=3$일 때 $t=5$와 $t=6$에 대해 갈루아 군 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^t$를 가진 $p$-정합성 수체가 존재하는가?
• RQ4 모든 $p \geq 2$에 대해 $p$-정합성인 허수 이중 수체가 존재하는가? 이는 최소 절대 아벨 갈루아 군 개념에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 헤이지르–메어의 추측에 따라, 균일한 프로-$p$ 군에서 큰 이와사와 $\mu$-인바리언트와 $p$-정합성을 연결할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 단일 비가역 다항식으로 정의된 수체의 $p$-정합성을 테스트하는 두 개의 매우 효율적인 PARI/GP 프로그램을 제공하며, 이는 이전 방법보다 크게 가속화된다.
• 이중 수체의 경우, $p$-정합성 밀도가 코헨–렌스트라–마르티네 예측과 일치함을 검증하여, $p$-진 클래스 체계 이론의 히우리스틱 모델을 뒷받침한다.
• $p=3$일 때 갈루아 군 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^5$와 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^6$를 가진 $p$-정합성 수체의 명시적 예를 구성하여, 이 경우 그린버그의 추측을 확인한다.
• 일반적으로 $p=2$일 때 $\mathcal{W}_K = \bigoplus_{{\mathfrak{p}}\mid p} \mu_{K_{\mathfrak{p}}} / \mu_K$ 가 자명하지 않음을 입증하여, 작은 소수에서의 $p$-정합성의 복잡성을 강조한다.
• 정규화된 $p$-진 조정자 $\mathcal{R}_K$는 $p$-정합성의 가장 깊은 불변량임을 보이며, $p$가 매우 클 때 $p$ 모듈로에서의 영이 되는 확률이 $\leq 1/p^{\log_2 p / \log c_0(\eta) - O(1)}$ 이하일 것이라 추측한다.
• 보렐–칸텔리 원리에 따라, 고정된 실수 갈루아 수체가 비-$p$-정합성이 되는 소수 $p$는 유한 개 뿐임을 의미하며, 이는 확률론적 유한성 추측을 지지한다.