[논문 리뷰] A quantum characterization of NP

Hugue Blier, Alain Tapp|arXiv (Cornell University)|2007. 09. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 4인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다항시간 결정론적 검증자가 로그 수준의 큐비트와 두 개의 얽히지 않은 양자 증거를 사용하는 다항 크기의 양자 회로를 활용하는 언어의 복잡도 클래스 PQMAₗₒg(2)를 정의한다. 이는 완전성과 타당성 간의 갭이 1에 가까운 다항식으로 가까운 경우에 대해 완전한 성질을 가지며, PQMAₗₒg(2) = NP임을 증명함으로써, 로그 크기의 얽히지 않은 양자 증거를 사용한 NP의 양자적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

In this article we introduce a new complexity class called PQMA_log(2). Informally, this is the class of languages for which membership has a logarithmic-size quantum proof with perfect completeness and soundness which is polynomially close to 1 in a context where the verifier is provided a proof with two unentangled parts. We then show that PQMA_log(2) = NP. For this to be possible, it is important, when defining the class, not to give too much power to the verifier. This result, when compared to the fact that QMA_log = BQP, gives us new insight on the power of quantum information and the impact of entanglement.

연구 동기 및 목표

• 로그 크기의 얽히지 않은 양자 증거를 사용하여 NP를 캡처하는 새로운 양자 복잡도 클래스 PQMAₗₒg(2)를 정의하기.
• 이 클래스가 정확히 NP를 특성화함으로써, 고전적 클래스 NP의 양자적 표현을 제공하기.
• 검증자의 결정론적 다항시간 제약 조건을 통해 얽힘과 검증자 능력이 양자 상호작용 증명 체계에서 어떤 역할을 하는지 명확히 하기.
• PQMAₗₒg(2)와 BQP에 포함되는 QMAₗₒg(2)를 대조하여, 검증자 제약 조건이 증거 능력에 어떤 영향을 미치는지 밝히기.

제안 방법

• PQMAₗₒg(2)를 결정론적 다항시간 검증자가 O(log n) 큐비트에서 작동하는 다항 크기의 양자 회로와 두 개의 얽히지 않은 양자 증거를 사용할 수 있는 언어의 집합으로 정의한다.
• 검증자가 양자 회로를 생성하고, 그래프의 3-색칠 가능성을 확인하기 위해 두 개의 얽히지 않은 양자 증거에 대해 세 가지 테스트를 수행한다.
• 정점 색상의 적절한 인코딩과 인접한 정점 간의 일관성을 검증하기 위해 프로젝터와 측정 확률을 사용하는 테스트를 설계한다.
• 완전성 증명을 위해, 유효한 3-색칠이 존재할 경우 올바른 양자 증거 상태를 사용하여 수용 확률이 정확히 1이 되도록 보여준다.
• 타당성 증명을 위해, 임의의 잘못된 그래프가 테스트를 통과하지 못할 확률이 최소 1/(24n⁶) 이상임을 보여주어 비차별적 갭을 확보한다.
• 완전성과 타당성 간의 갭 g = 1/p(n)에 대해, 수용 확률을 정밀도 g/3 이내로 시뮬레이션할 수 있는 결정론적 다항시간 검증자를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 NP는 로그 크기의 얽히지 않은 양자 증거와 결정론적 다항시간 검증을 갖는 양자 상호작용 증명 체계를 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ2 검증자를 결정론적 다항시간으로 제한할 경우, 양자 증거 체계의 능력에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이러한 체계에서 완전성과 타당성 간의 갭을 일정하게 유지할 수 있는가, 아니면 역다항식 갭이 필수적인가?
• RQ4 두 개의 얽히지 않은 양자 증거를 사용할 경우, 단일 얽힌 증거보다 검증 능력에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• PQMAₗₒg(2)는 정확히 NP와 동일하며, 로그 크기의 얽히지 않은 양자 증거를 사용한 NP의 양자적 특성화를 제공한다.
• 검증자는 완전한 성질을 가지며, 입력이 언어에 속해 있을 경우 항상 증거를 수용한다.
• 타당성 오차는 1/(24n⁶) 이하로 제한되어 있어, 참과 거짓 인스턴스의 수용 확률 간에 비차별적 갭을 확보한다.
• 결정론적 다항시간 검증자가 양자 수용 확률을 충분한 정밀도로 시뮬레이션할 수 있어, PQMAₗₒg(2)가 NP에 속함을 보여준다.
• 결과적으로, 결정론적 비결정론이 로그 큐비트에서 작동하는 양자 회로와 두 개의 얽히지 않은 증거를 사용하는 경우에도, 심지어 검증자가 결정론적일 경우에도 이를 시뮬레이션할 수 있음을 보여준다.
• 구성 과정은 이 설정에서 증거 간의 얽힘은 NP-완전성에 필수적이지 않음을 보여준다. 두 증거는 서로 얽히지 않았다.