[논문 리뷰] Testing product states, quantum Merlin-Arthur games and tensor optimisation

Aram W. Harrow, Ashley Montanaro|2010. 01. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 73인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 입력 상태의 두 복사본을 사용하여 근본적으로 제품 상태인지 또는 모든 제품 상태에서 멀리 떨어진 상태인지 효율적으로 구분할 수 있는 양자 테스트를 소개한다. 상태가 가장 가까운 제품 상태와의 오버랩이 $1 - \epsilon$일 경우, 이 테스트는 확률 $1 - \Theta(\epsilon)$로 통과하며, 이는 양자 멜린-아서 증명 체계와 텐서 최적화 분야에서의 핵심적 진전을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We give a test that can distinguish efficiently between product states of n quantum systems and states which are far from product. If applied to a state psi whose maximum overlap with a product state is 1-epsilon, the test passes with probability 1-Theta(epsilon), regardless of n or the local dimensions of the individual systems. The test uses two copies of psi. We prove correctness of this test as a special case of a more general result regarding stability of maximum output purity of the depolarising channel. A key application of the test is to quantum Merlin-Arthur games with multiple Merlins, where we obtain several structural results that had been previously conjectured, including the fact that efficient soundness amplification is possible and that two Merlins can simulate many Merlins: QMA(k)=QMA(2) for k>=2. Building on a previous result of Aaronson et al, this implies that there is an efficient quantum algorithm to verify 3-SAT with constant soundness, given two unentangled proofs of O(sqrt(n) polylog(n)) qubits. We also show how QMA(2) with log-sized proofs is equivalent to a large number of problems, some related to quantum information (such as testing separability of mixed states) as well as problems without any apparent connection to quantum mechanics (such as computing injective tensor norms of 3-index tensors). As a consequence, we obtain many hardness-of-approximation results, as well as potential algorithmic applications of methods for approximating QMA(2) acceptance probabilities. Finally, our test can also be used to construct an efficient test for determining whether a unitary operator is a tensor product, which is a generalisation of classical linearity testing.

연구 동기 및 목표

• 주어진 양자 상태가 제품 상태인지 또는 모든 제품 상태에서 멀리 떨어져 있는지를 효율적으로 판단할 수 있는 양자 테스트를 개발하는 것.
• 특히 $k \geq 2$일 때 QMA(k)와 QMA(2)의 동치성 문제를 해결하기 위해 양자 멜린-아서 증명 체계(QMA(k)) 분야의 열린 문제를 해결하는 것.
• 양자 복잡도 이론과 고전적 텐서 최적화 문제 사이의 연결 고리를 설정하는 것. 이는 포함된 텐서 노름과 분리 가능성 테스트를 포함한다.
• 소실 채널의 최대 출력 순도에 대한 안정성 결과를 제공함으로써 제품 테스트의 정확성을 뒷받침하는 것.
• 크기 $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ 큐비트의 얽히지 않은 증거를 사용하여 일정한 소음도를 갖는 3-SAT를 검증하기 위한 새로운 양자 알고리즘을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 입력 상태의 모든 이분 부분계의 평균 순도를 추정하기 위해 스위치 테스트를 기반으로 한 두 복사본 양자 테스트를 설계한다.
• 테스트의 성공 확률이 부분계 $S$의 축소 상태 $\rho_S$의 순도 $\operatorname{tr}(\rho_S^2)$에 대한 모든 부분계에 대한 평균과 동일하다는 사실을 활용한다.
• 만약 평균 순도가 높다면, 전체 상태는 제품 상태에 가까워진다는 것을 증명하기 위해 소실 채널의 출력 순도에 대한 안정성 경계를 사용한다.
• QMA(2)에 적용하기 위해 두 명의 멜린이 임의의 수의 멜린을 시뮬레이션할 수 있음을 보이며, 이는 테스트가 증거 내의 얽힘을 탐지할 수 있다는 능력에 기반한다.
• 제품 테스트와 3차 인덱스 텐서의 포함된 텐서 노름 사이의 연결 고리를 확립하여, 로그 크기의 증거를 갖는 QMA(2)가 이 클래스의 문제를 포괄함을 보여준다.
• 테스트를 사용하여 유니터리 연산자의 선형성에 대한 양자 라인어리티 테스트를 구성하며, 고전적 선형성 테스트를 양자 환경으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 복사본만을 사용하여 양자 상태가 제품 상태이거나 모든 제품 상태에서 멀리 떨어져 있는지를 효율적으로 테스트할 수 있는가?
• RQ2 모든 이분 분할에 걸친 평균 얽힘과 전체 상태가 제품 상태에 가까운 정도 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 제품 테스트를 사용하여 모든 $k \geq 2$에 대해 QMA(k) = QMA(2)임을 증명할 수 있는가?
• RQ4 제품 테스트는 3차 인덱스 텐서의 포함된 텐서 노름 계산과 같은 고전적 문제와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 테스트를 일반화하여 유니터리 연산자가 국소 유니터리의 텐서곱인지 확인할 수 있는가?

주요 결과

• 입력 상태가 가장 가까운 제품 상태와의 오버랩이 $1 - \epsilon$일 경우, 제품 테스트는 $n$이나 국소 차원에 관계없이 확률 $1 - \Theta(\epsilon)$로 통과한다.
• 테스트는 모든 $k \geq 2$에 대해 $\mathsf{QMA}(k) = \mathsf{QMA}(2)$임을 입증하여, 양자 복잡도 이론 분야에서 오랫동안 남아 있던 추측을 해결한다.
• 크기 $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ 큐비트의 두 개의 얽히지 않은 증거를 사용하여 일정한 소음도를 갖는 3-SAT를 검증할 수 있는 효율적 양자 알고리즘이 존재한다.
• 로그 크기의 증거를 갖는 QMA(2)는 3차 인덱스 텐서의 포함된 텐서 노름을 계산하는 문제와 동치이며, 이는 근사화 난이도 결과를 암시한다.
• 테스트는 유니터리 연산자가 텐서곱 형태인지 여부를 검증하는 데 새로운 방법을 제공하며, 고전적 선형성 테스트를 양자 환경으로 일반화한다.
• 주요 결과는 과거의 Gowers 균일도 노름에 대한 역정리의 양자 버전으로 해석되며, 제품 상태와의 최대 오버랩은 모든 제품 상태에 대한 평균 제곱 오버랩에 의해 잘 근사 가능하다.