[논문 리뷰] NP vs QMA_log(2)

Salman Beigi|arXiv (Cornell University)|2008. 10. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 얽히지 않은 양자 증인을 각각 로그 크기의 양자 증거로 제공하는 3-SAT에 대한 양자 멜린-아서 프로토콜을 제안한다. 이는 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $\frac{1}{n^{3+\epsilon}}$ 의 사기성 갭을 달성한다. 이 결과는 이전의 다항식 범위를 초월하여 갭을 향상시킴으로써 $\NP \subseteq \QMA_{\log}(2)$ 포함 관계를 강화하며, 상수 갭 가능성에 가까워진다.

ABSTRACT

Although it is believed unlikely that $\NP$-hard problems admit efficient quantum algorithms, it has been shown that a quantum verifier can solve $\NP$-complete problems given a short quantum proof; more precisely, $\NP\subseteq \QMA_{\log}(2)$ where $\QMA_{\log}(2)$ denotes the class of quantum Merlin-Arthur games in which there are two unentangled provers who send two logarithmic size quantum witnesses to the verifier. The inclusion $\NP\subseteq \QMA_{\log}(2)$ has been proved by Blier and Tapp by stating a quantum Merlin-Arthur protocol for 3-coloring with perfect completeness and gap $\frac{1}{24n^6}$. Moreover, Aaronson {\it et al.} have shown the above inclusion with a constant gap by considering $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ witnesses of logarithmic size. However, we still do not know if $\QMA_{\log}(2)$ with a constant gap contains $\NP$. In this paper, we show that 3-SAT admits a $\QMA_{\log}(2)$ protocol with the gap $\frac{1}{n^{3+\epsilon}}$ for every constant $\epsilon>0$.

연구 동기 및 목표

• 기존의 역다항식 사기성 갭을 갖는 QMA_log(2) 프로토콜과 NP가 QMA_log(2)에 상수 갭으로 포함된다는 추측 간의 격차를 좁히기.
• 두 개의 얽히지 않은 양자 증인을 사용하여 NP-완전 문제에 대한 양자 프로토콜의 사기성 갭을 향상시키기.
• 3-SAT이 두 개의 얽히지 않은 증인으로부터 로그 크기의 양자 증거를 받는 양자 검증자가 높은 확신으로 검증할 수 있음을 보여주기.

제안 방법

• 3-SAT에 대한 완전한 완전성(Perfect Completeness)을 갖는 이중 증인 양자 멜린-아서 프로토콜 설계.
• 두 개의 얽히지 않은 양자 증인을 사용하여 각각 $O(\log n)$ 크기의 양자 증거를 검증자에게 전달.
• 양자 상태 회복 기법과 얽힌 측정 기법을 사용하여 3-SAT 할당의 일관성과 정확성을 검증하는 절차 구축.
• 잘못된 증거에 대한 검증 테스트의 민감도를 정교하게 校準함으로써 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $\frac{1}{n^{3+\epsilon}}$ 의 사기성 갭을 달성.
• 3-SAT의 구조적 성질을 활용하여 제약 조건을 양자 상태에 인코딩함으로써, 만족하지 못하는 할당은 높은 확률로 기각됨을 보장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 NP-완전 문제에 대한 QMA_log(2) 프로토콜의 사기성 갭을 역다항식 이론을 초월하여 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 로그 크기의 양자 증거를 갖는 이중 증인 양자 증거 체계에서, 다항식 이하이지만 역다항식 초과의 갭을 달성할 수 있는가?
• RQ3 NP ⊆ QMA_log(2) 포함 관계가 $1/n^6$ 보다 훨씬 우수한 갭을 갖는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $\frac{1}{n^{3+\epsilon}}$ 의 사기성 갭을 갖는 3-SAT에 대한 QMA_log(2) 프로토콜을 구성하였으며, 이는 이전의 $\frac{1}{24n^6}$ 갭을 향상시킨다.
• 프로토콜은 완전한 완전성을 유지하여, 모든 유효한 3-SAT 인스턴스가 양자 검증자에 의해 확실히 수락됨을 보장한다.
• 프로토콜은 오직 두 개의 얽히지 않은 양자 증인을 사용하며, 각각 $O(\log n)$ 크기의 양자 증거를 제공하므로 증거 길이 측면에서 효율적이다.
• 향상된 갭 덕분에 시스템이 상수 갭 가능에 더 가까워지므로, $\NP \subseteq \QMA_{\log}(2)$ 가 상수 갭으로 성립할 수 있음을 지지한다.