[논문 리뷰] A Weak Galerkin Finite Element Method for the Maxwell Equations

Lin Mu, Junping Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 09.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다면체 메esh에서 비연속 근사를 사용하여 시간 조화형 맥스웰 방정식을 해결하기 위한 약한 갈레르킨(WG) 유한요소 방법을 제시한다. 이 방법은 안정화를 적용한 이산 약한 컬과 기울기 연산자를 사용하여 $H^1$-유사 및 $L^2$-유사 노름에서 최적 수렴 속도를 달성하며, 내부 자유도를 제거하기 위해 슈어 여유법(Schur complement)을 활용하여 효율적인 해를 도출한다.

ABSTRACT

This paper introduces a numerical scheme for time harmonic Maxwell's equations by using weak Galerkin (WG) finite element methods. The WG finite element method is based on two operators: discrete weak curl and discrete weak gradient, with appropriately defined stabilizations that enforce a weak continuity of the approximating functions. This WG method is highly flexible by allowing the use of discontinuous approximating functions on arbitrary shape of polyhedra and, at the same time, is parameter free. Optimal-order of convergence is established for the weak Galerkin approximations in various discrete norms which are either $H^1$-like or $L^2$ and $L^2$-like. An effective implementation of the WG method is developed through variable reduction by following a Schur-complement approach, yielding a system of linear equations involving unknowns associated with element boundaries only. Numerical results are presented to confirm the theory of convergence.

연구 동기 및 목표

• 비균질 매질에서 시간 조화형 맥스웰 방정식을 위한 강력하고 매개변수 없는 유한요소 방법을 개발하기 위해.
• 맥스웰 방정식의 혼합 형식에서 벡터장과 스칼라장에 대한 약한 갈레르킨 프레임워크를 확장하기 위해.
• 일반적인 다면체 요소에서 비연속 다항식 근사를 사용하여 최적 수렴 속도를 달성하기 위해.
• 내부 자유도를 슈어 여유법을 통해 제거하여 경계 자유도만 유지함으로써 계산 비용을 절감하기 위해.
• 수치적 검증과 함께 수렴에 대한 이론적 기반을 제공하고, 초수렴 현상 관측을 포함하기 위해.

제안 방법

• 분포적 의미에서 미분 연산자를 근사하기 위해 이산 약한 컬과 약한 기울기 연산자를 도입한다.
• 약한 함수 $\mathbf{u}_h = \{\mathbf{u}_0, \mathbf{u}_b\}$ 와 $p_h = \{p_0, p_b\}$ 를 사용하며, 여기서 $\mathbf{u}_0, p_0$ 는 요소 내 근사이고 $\mathbf{u}_b, p_b$ 는 면 기반의 추적값이다.
• 요소 경계에서의 통합을 통해 약한 컬과 기울기의 연속성을 강제하는 안정화 항을 적용한다.
• 내부 자유도($\mathbf{u}_0, p_0$)를 제거하기 위해 슈어 여유법을 활용하여 전체 시스템을 경계 자유도($\mathbf{u}_b, p_b$)로만 유지한다.
• 최적 순서 수렴이 증명된 혼합 유한요소 스킴을 구성하며, $[P_k(T)]^3 \times P_{k-1}(T)$ 를 $\mathbf{u}_h$ 에 대해, $P_k(T) \times P_k(e)$ 를 $p_h$ 에 대해 사용한다.
• 수치적 적분과 평균화 연산자를 사용하여 이산 노름과 오차 추정량을 정의하며, $L^2$-유사 수렴을 위한 $|||\cdot|||_{0,h}$ 도 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 갈레르킨 유한요소 방법을 비균일 계수를 가진 시간 조화형 맥스웰 방정식으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 WG 방법이 적절한 이산 노름에서 벡터 및 스칼라 성분에 대해 최적 수렴 속도를 달성하는가?
• RQ3 이 방법은 비연속 근사를 사용하는 임의의 다면체 메쉬에서 매개변수 없이 안정화되고 성능이 좋은가?
• RQ4 특히 조각별 상수 스칼라 근사를 사용할 경우, 저차수 다항식을 사용했을 때의 성능은 어떠한가?
• RQ5 이산 $L^2$ 노름에서 초수렴 현상이 관측되는가? 만약 그렇다면 그 원인은 무엇인가?

주요 결과

• 일반적인 조건인 $s=t=k$ 이고 $\ell=k-1$, $\iota=k$ 일 때, $\mathbf{u}_h$ 는 $H^1$-유사 노름에서 $O(h^k)$ 수준의 최적 수렴이 증명된다. $p_h$ 는 $L^2$-유사 노름에서 동일한 수렴 속도를 확보한다.
• 수치 결과는 $|||\mathbf{e}_h|||_1$, $\|\mathbf{e}_0\|_{L^2}$, $|||\epsilon_h|||_0$, $|||\epsilon_h|||_{0,h}$ 를 포함한 모든 테스트된 노름에서 최적 수렴 속도를 확인하며, 수렴 차수는 $O(h^k)$ 에 가까워진다.
• 특히 $s=t=k$, $\ell=\iota=k-1$ 인 경우, 수치 실험에서 $O(h^k)$ 수렴 속도를 관측했지만, 이론적 분석은 제공되지 않았다.
• 슈어 여유법을 통해 전역적으로 연결된 자유도 수를 크게 감소시켰으며, 내부 자유도($\mathbf{u}_0, p_0$)는 국소적으로 제거되었다.
• 스칼라 근사 $p_h$ 에 대해 이산 $L^2$ 노름에서 초수렴 현상이 관측되었으며, 이론적 예측인 $O(h)$ 에 비해 $O(h^2)$ 수준의 수렴 차수를 보였고, 이는 고차수 행동의 잠재적 가능성을 시사한다.
• 조각별 상수 스칼라 근사($P_0$)를 사용하더라도 방법은 안정적이고 수렴성이 유지되며, 이 경우에 대한 이론적 근거가 없음에도 불구하고 뛰어난 성능을 보였다.