[논문 리뷰] Adiabatic groupoids and secondary invariants in K-theory

Vito Felice Zenobi|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 26.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 44인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이전의 코arse 기하학 및 분할 이론에서의 작업을 일반화하기 위해, $G_{ad}^{\bullet}$로 알려진 아디아바틱 변형 군oids를 사용하여 리 군oids에 대한 K-이론적 2차 불변량을 도입한다. 이 불변량들에 대한 잘못된 방향의 함의성(functoriality)은 델로컬라이즈드 APS 지수 정리의 리 군oids 판별을 통해 확립되며, 2차 불변량에 대한 곱 공식이 유도되어 고차 지수 이론의 프레임워크가 특이적이고 비유계인 기하학으로 확장된다.

ABSTRACT

In this paper we define K-theoretic secondary invariants attached to a Lie groupoid $G$. The K-theory of $C^*_r(G_{ad}^0)$ (where $G_{ad}^0$ is the adiabatic deformation $G$ restricted to the interval $[0,1)$) is the receptacle for K-theoretic secondary invariants. We give a Lie groupoid version of construction given by Piazza and Schick in the setting of the Coarse Geometry. Our construction directly generalises to more involved geometrical situation, such as foliations, well encoded by a Lie groupoid. Along the way we tackle the problem of producing a wrong-way functoriality between adiabatic deformation groupoid K-groups with respect to transverse maps. This extends the construction of the lower shriek map given by Connes and Skandalis. Moreover we attach a secondary invariant to the two following operators: the signature operator on a pair of homotopically equivalent Lie groupoids; the Dirac operator on a Lie groupoid equipped with a metric that has positive scalar curvature $s$-fiber-wise. Furthermore we prove a Lie groupoid version of the Delocalized APS Index Theorem of Piazza and Schick. Finally we give a product formula for the secondary invariants and we state stability results about cobordism classes of Lie groupoid structures and bordism classes of Lie groupoid metric with positive scalar curvature along the $s$-fibers. This is the revised version accepted by Advances in Mathematics.

연구 동기 및 목표

• 이중 군oids $G_{ad}^{\bullet}$를 사용하여 리 군oids에 대한 K-이론적 2차 불변량을 정의한다.
• Higson-Roe와 Piazza-Schick의 2차 불변량을 분할과 같은 더 복잡한 기하학적 설정으로 일반화한다.
• 가로로 전이 가능한 군oids 사상 하에서 2차 불변량에 대한 잘못된 방향의 함의성(하향 꺾임 사상)을 확립한다.
• 델로컬라이즈드 아티야-패놀리-사이러스 지수 정리의 리 군oids 판별을 증명한다.
• 아디아바틱 군oids C*-대수의 K-이론에서 2차 불변량에 대한 곱 공식을 유도한다.

제안 방법

• 기본 지수 클래스 $\partial[D] \in K_{*+1}(S \otimes B)$가 0일 때, $K_*(E)$에 속하는 표준적인 업그레이드로 2차 불변량 $\varrho(D,w)$를 구성한다.
• 구간 $[0,1)$ 위에서 리 군oids $G$의 아디아바틱 변형 $G_{ad}^\circ$를 사용하여 2차 불변량의 수용체인 $K_*(C^*_r(G_{ad}^\circ))$를 정의한다.
• $S = C_0(0,1)$인 C*-대수의 정확한 수열 프레임워크를 적용하여 K-이론 클래스의 계층: 기본 클래스, 기본 불변량, 2차 불변량을 정의한다.
• KK-이론에서 경계 사상에 의해 유도되는 사상 $\varphi: A' \to B$를 구성함으로써 잘못된 방향의 함의성을 확립하여, 아디아바틱 군oids의 K-군 사이의 하향 꺾임 사상으로 확장한다.
• 부드럽고 횡단 가능한 1-코호몰로지 족을 통한 리 군oids의 분류 공간 구성법을 사용하여 기하학적 자료와 K-이론적 불변량을 연결한다.
• Yu와 Roe의 국소화 대수 및 C*-대수적 기법을 적용하여, 비유계 및 특이한 군oids 설정으로의 지수이론 도구를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 K-이론적 2차 불변량은 코arse 기하학에서 리 군oids로 어떻게 일반화될 수 있으며, 특히 분할의 맥락에서 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ2 리 군oids $G$와 관련된 2차 불변량에 대한 적절한 K-이론적 수용체는 무엇인가?
• RQ3 가로로 전이 가능한 군oids 사상 하에서 2차 불변량에 대한 잘못된 방향의 함의성(하향 꺾임 사상)을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 델로컬라이즈드 APS 지수 정리의 리 군oids 판별가 성립하는가? 그리고 이는 2차 불변량과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 2차 불변량의 곱의 구조는 무엇이며, 아디아바틱 변형과 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 기본 지수 클래스 $\partial[D]$가 0일 때, 선택된 '이유' $w$를 사용하여 $K_*(E)$ 내의 표준적 업그레이드로 2차 불변량 $\varrho(D,w)$를 구성한다.
• 2차 불변량의 수용체는 $K_*(C^*_r(G_{ad}^\circ))$로 식별되며, 여기서 $G_{ad}^\circ$는 $[0,1)$ 위에서 $G$의 아디아바틱 변형으로서 이전의 구성들을 일반화한다.
• KK-이론에서 경계 사상에 의해 유도되는 사상 $\varphi: A' \to B$를 통해 잘못된 방향의 함의성이 확립되어, 하향 꺾임 사상이 아디아바틱 군oids 설정으로 확장된다.
• 델로컬라이즈드 APS 지수 정리의 리 군oids 판별가 증명되며, 이는 군oids 위에서 횡단적으로 정의된 타원형 연산자의 지수 이론과 관련된다.
• 2차 불변량에 대한 곱 공식이 도출되어, K-이론의 컵 곱과 아디아바틱 변형의 구조와의 호환성을 보여준다.
• 이 구성이 함의성과 호모토피 불변성과 함께 성립하며, 분류 공간 $BG$는 군oids 코호몰로지의 보편 1-코호몰로지 족을 실현하여 기하학적 실현을 가능하게 한다.