[논문 리뷰] Almost optimal classical approximation algorithms for a quantum generalization of Max-Cut

Sevag Gharibian, Ojas Parekh|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양자 허지너베르그 모델, 즉 막스컷의 양자 일반화에 대한 고전적 다항식 시간 근사 알고리즘을 제시한다. 고메인스-윌리엄슨 알고리즘에 영감을 받은 제품 상태 최적화 및 랜덤화 반올림 기법을 활용하여, 반자성 XY 모델에 대해 0.649의 근사 비율과 반자성 허지너베르그 XYZ 모델에 대해 0.498의 근사 비율을 달성한다. 이는 제품 상태의 이론적 상한선인 각각 2/3과 1/2에 거의 도달하는 수준이다.

ABSTRACT

Approximation algorithms for constraint satisfaction problems (CSPs) are a central direction of study in theoretical computer science. In this work, we study classical product state approximation algorithms for a physically motivated quantum generalization of Max-Cut, known as the quantum Heisenberg model. This model is notoriously difficult to solve exactly, even on bipartite graphs, in stark contrast to the classical setting of Max-Cut. Here we show, for any interaction graph, how to classically and efficiently obtain approximation ratios 0.649 (anti-ferromagnetic XY model) and 0.498 (anti-ferromagnetic Heisenberg XYZ model). These are almost optimal; we show that the best possible ratios achievable by a product state for these models is 2/3 and 1/2, respectively.

연구 동기 및 목표

• 양자 허지너베르그 모델에 대한 효율적인 고전적 근사 알고리즘을 개발하는 것.
• 양자 제약 만족 문제에서 제품 상태가 달성할 수 있는 이론적 한계와 알려진 근사 비율 사이의 격차를 메우는 것.
• 특히, 반정적 프로그래밍의 랜덤화 반올림 기법을 양자 국소 해밀토니안 문제에 확장하는 것.
• 오직 제품 상태만을 사용하여 반자성 XY 및 XYZ 허지너베르그 모델에 대해 거의 최적의 근사 비율을 확립하는 것.
• 일반적인 2-로컬 해밀토니안을 국소 유니터리 변환을 통해 표준형으로 줄이는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자는 고메인스-윌리엄슨 알고리즘에 기반한 랜덤화 반올림 절차를 사용하여, 양자 허지너베르그 모델의 반정적 프로그래밍 이론화에 적용한다.
• 상호작용 항을 상관계수 행렬 M으로 모델링하고, 국소 유니터리 변환을 적용하여 M을 대각화함으로써 매개변수 α, β, γ를 가진 표준형으로 문제를 축소한다.
• XY 모델(γ = 0)의 경우, 반정적 프로그래밍을 풀고 결과 벡터를 초평면 컷을 통해 반올림함으로써 0.649의 근사 비율을 달성한다.
• XYZ 모델(α, β, γ ≠ 0)의 경우, 수정된 반올림 기법을 통해 0.498의 근사 비율을 도출하며, 이는 무작위 할당 하에 目표 함수의 기대값에서 유도된다.
• 국소 유니터리 연산이 제품 상태의 근사 비율을 유지함을 활용하여, 알려진 해결 가능한 경우로의 축소를 가능하게 한다.
• 이론적 상한은 랜덤 변수의 기대 내적을 사용하여 유도되며, E[r_i r_j] = 2 arcsin(t)/π로 표현되며, 여기서 t는 벡터 간의 각도余弦이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반자성 XY 모델에 대해 제품 상태가 달성할 수 있는 최고의 근사 비율은 무엇이며, 이를 효율적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 양자 문제의 복잡도를 감안할 때, 고전 알고리즘이 반자성 허지너베르그 XYZ 모델에 대해 거의 최적의 근사 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ3 반정적 프로그래밍 이론화가 양자 제약 만족 문제, 예를 들어 2-로컬 해밀토니안 문제에 어떻게 적응될 수 있는가?
• RQ4 국소 유니터리 변환을 통해 일반적인 2-로컬 해밀토니안을 고전적 근사 기법에 적용 가능한 표준형으로 얼마나 잘 축소할 수 있는가?
• RQ5 상관계수 행렬 M의 랭크와 허지너베르그 모델에서 달성 가능한 근사 비율 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 반자성 XY 모델에 대해 0.649의 근사 비율을 달성하였으며, 이는 제품 상태의 이론적 상한선인 2/3에 거의 도달하는 거의 최적의 결과이다.
• 반자성 허지너베르그 XYZ 모델의 경우, 알고리즘은 0.498의 근사 비율을 달성하였으며, 제품 상태의 이론적 최대치인 1/2에 가까워지고 있다.
• XY 모델에 대한 0.649의 근사 비율은 반정적 프로그래밍에 대한 랜덤화 반올림 기법을 적용한 결과이며, 고메인스-윌리엄슨 분석에서 유도된 arcsin 공식을 사용해 기대값을 계산하였다.
• XYZ 모델의 경우, 최악의 간선 상황에서의 근사 비율은 0.462이지만, 상관계수 구조에 대한 정교한 분석을 통해 0.498로 향상되었다.
• 저자는 상관계수 행렬 M이 랭크 1, 2, 또는 3인 정규직사각형 투영일 경우, 각각 최소 0.878, 0.649, 또는 0.498의 근사 비율을 달성함을 보였다. 이는 특수한 경우에서 알려진 고전적 상한과 일치한다.
• 제품 상태 근사의 이론적 상한은 각각 랭크 1, 2, 3에 대해 1, 2/3, 1/2로 증명되었으며, 이는 결과의 거의 최적성을 확립한다.