[논문 리뷰] Generalized Charges, Part I: Invertible Symmetries and Higher Representations

Lakshya Bhardwaj, Sakura Schäfer‐Nameki|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 05.

Molecular spectroscopy and chirality참고 문헌 72인용 수 16

한 줄 요약

논문은 invertible generalized symmetries의 q-charges가 (q+1)-representations라는 개념을 발전시키며, 국부 연산자에서 확장 연산자로의 전하를 higher-category 이론을 통해 확장하고, 0-형 및 1-형 대칭과 twisted sectors에 대해 명시적으로 다룬다.

ABSTRACT

$q$-charges describe the possible actions of a generalized symmetry on $q$-dimensional operators. In Part I of this series of papers, we describe $q$-charges for invertible symmetries; while the discussion of $q$-charges for non-invertible symmetries is the topic of Part II. We argue that $q$-charges of a standard global symmetry, also known as a 0-form symmetry, correspond to the so-called $(q+1)$-representations of the 0-form symmetry group, which are natural higher-categorical generalizations of the standard notion of representations of a group. This generalizes already our understanding of possible charges under a 0-form symmetry! Just like local operators form representations of the 0-form symmetry group, higher-dimensional extended operators form higher-representations. This statement has a straightforward generalization to other invertible symmetries: $q$-charges of higher-form and higher-group symmetries are $(q+1)$-representations of the corresponding higher-groups. There is a natural extension to higher-charges of non-genuine operators (i.e. operators that are attached to higher-dimensional operators), which will be shown to be intertwiners of higher-representations. This brings into play the higher-categorical structure of higher-representations. We also discuss higher-charges of twisted sector operators (i.e. operators that appear at the boundary of topological operators of one dimension higher), including operators that appear at the boundary of condensation defects.

연구 동기 및 목표

• 형 차원(0-형, 고-형, 및 고-그룹)에 걸친 invertible symmetries에 대한 일반화된 전하를 동기 부여하고 정의한다.
• G^{(p)} p-form 대칭의 q-charges가 연관된 (p+1)-그룹의 (q+1)-representations임을 보이고, 일반적인 표현(representations)을 일반화한다.
• 프레임워크를 명시적 예제로 설명하고, genuine 및 non-genuine 전하를 위한 higher-categorical 구조를 설정한다.
• twisted generalized charges와 이러한 전하를 형성하는 데 있어 anomaly의 역할에 대해 논의한다.
• Part II에서 다룰 비가역적 (categorical) 대칭에 대한 준비를 마련한다.]
• method:["물리적으로 q-charges가 대칭 구조(그룹 또는 higher-groups)의 (q+1)-representations로 나타난다고 주장한다.","0-form 대칭의 q-charges가 G^{(0)}의 2-representations과 관련되며, 더 높은 q에 대해서는 higher-representations를 통해 일반화된다(appendix B).","정당한 특성과 non-genuine 연산자를 계층화하고 이를 (q+1)-categories 및 모프isms에 매핑한다.","twisted higher-representations(예: D_{d-1}^{(g)} 경계)을 통해 대칭 생성기 및 응집 결함으로부터 기인한 twisted sectors를 분석한다.","4d Maxwell 이론과 같은 예를 사용하여 0-형 대칭 아래의 0-, 1-, 및 고차 전하를 설명한다.","Drinfeld center와 Part II의 비가역적 대칭 일반화와의 연결 고리를 개요한다."]
• research_questions':['가역 대칭 하에서 q-차원 연산자에 대한 적절한 higher-categorical 일반화된 전하는 무엇인가?','q-charges가 0-form 대칭의 G^{(0)}의 (q+1)-representations 및 더 일반적으로 p-form 대칭의 경우 더 높은 그룹의 (p+1)-representations와 어떻게 관련되는가?','twisted sectors와 ’t Hooft anomalies가 일반화된 전하를 어떻게 수정하는가, 특히 대칭 생성기 및 condensation defects와 관련된 twisted charges의 경우에?','이 높은-카테고리 프레임워크 내에서 non-genuine 전하의 구조와 해석은 무엇인가?','이 아이디어를 Part II에서 Drinfeld center를 통해 비가역적 (categorical) 대칭으로 확장하는 방법은?'],
• key_findings':['G^{(0)} 0-form 대칭의 q-Charges는 모든 q에 대해 G^{(0)}의 (q+1)-representations이며, 0-charges는 일반적인 표현(representations)을 회복한다.','0-form 대칭의 1-charges는 G^{(0)}의 2-representations이며, 선형 연산자에 대한 유도된 0-form 대칭과 그 안정화자(가능한 ’t Hooft anomaly 포함)에 의해 구현된다.','G^{(0)}에 대한 더 높은 q-charges는 higher-representations에 해당하며, 이는 그룹 표현의 자연스러운 higher-categorical 일반화이다.','p-form 및 고-그룹 대칭의 경우, q-charges는 연관된 (p+1)-그룹의 (q+1)-representations이며, 확장된 연산자 및 그 상호 작용에 대한 작용을 포착한다.',' twisted generalized charges는 대칭 생성기 및 condensation defects의 twisted sectors에서 비롯되며, twisted higher-representations 또는 그 호몰로지 데이터로 기술된다.','진짜(genuine) 및 비진짜(non-genuine) 전하의 계층적 구조는 (q+1)-category 프레임워크로 매핑되어, 전하를 higher-morphisms 및 intertwiners와 연결한다.'],
• table_headers:
• table_rows:

제안 방법

• 물리적으로 q-charges가 대칭 구조(그룹 또는 higher-groups)의 (q+1)-representations로 나타난다고 주장한다.
• 0-form 대칭의 q-charges가 G^{(0)}의 (q+1)-representations와 관련되며, 더 높은 q에 대해서는 higher-representations를 통해 일반화된다(appendix B).
• 진정한(genuine) 및 non-genuine 연산자의 계층화를 설명하고 이를 (q+1)-categories 및 모프isms에 매핑한다.
• twisted higher-representations(예: D_{d-1}^{(g)} 경계)을 통해 대칭 생성기 및 condensation defects로부터 기인한 twisted sectors를 분석한다.
• 4d Maxwell 이론과 같은 예를 사용하여 0-, 1-, 및 고차 전하를 0-form 대칭 하에서 설명한다.
• Drinfeld center와 Part II의 비가역적 대칭 일반화에 대한 연결을 개요한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가역 대칭 하에서 q-차원 연산자에 대한 적절한 higher-categorical 일반화된 전하는 무엇인가?
• RQ2 q-charges가 0-form 대칭의 G^{(0)}의 (q+1)-representations와 더 일반적으로 p-form 대칭의 경우 더 높은 그룹의 (p+1)-representations와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 twisted sectors와 ’t Hooft anomalies가 일반화된 전하를 어떻게 수정하는가, 특히 대칭 생성기 및 condensation defects와 관련된 twisted charges의 경우에?
• RQ4 이 높은-카테고리 프레임워크 내에서 non-genuine 전하의 구조와 해석은 무엇인가?
• RQ5 이 아이디어를 Part II에서 Drinfeld center를 통해 비가역적 (categorical) 대칭으로 확장하는 방법은?

주요 결과

• G^{(0)} 0-form 대칭의 q-Charges는 모든 q에 대해 G^{(0)}의 (q+1)-representations이며, 0-charges는 일반적인 표현을 회복한다.
• 0-form 대칭의 1-charges는 G^{(0)}의 2-representations이며, 이는 선형 연산자에 대한 유도된 0-form 대칭과 그 안정화자에서 구현되며, 가능한 ’t Hooft anomaly를 포함한다.
• G^{(0)}에 대한 더 높은 q-charges는 higher-representations에 해당하며, 그룹 표현의 자연스러운 higher-categorical 일반화이다.
• p-form 및 고-그룹 대칭의 경우, q-charges는 연관된 (p+1)-그룹의 (q+1)-representations이며, 확장된 연산자와 그 상호 작용을 포착한다.
• twisted generalized charges는 twisted sectors의 대칭 생성기 및 condensation defects에서 비롯되며, twisted higher-representations 또는 그 호몰로지 데이터로 기술된다.
• 진짜(genuine) 및 비진짜(non-genuine) 전하의 계층적 구조는 (q+1)-category 프레임워크로 매핑되어, 전하를 higher-morphisms 및 intertwiners와 연결한다.