[논문 리뷰] Non-invertible symmetries and LSM-type constraints on a tensor product Hilbert space

Nathan Seiberg, Sahand Seifnashri외 1명|arXiv (Cornell University)|2024. 01. 22.

Quantum many-body systems참고 문헌 153인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 격자 텐서 곱 힐베르트 공간에서 역전능하지 않은 Kramers-Wannier-type 대칭의 존재를 분석하고, 연속체 대칭과의 관계를 밝히며 이 대칭을 가진 시스템에 대한 LSM-type 제약을 도출한다.

ABSTRACT

We discuss the exact non-invertible Kramers-Wannier symmetry of 1+1d lattice models on a tensor product Hilbert space of qubits. This symmetry is associated with a topological defect and a conserved operator, and the latter can be presented as a matrix product operator. Importantly, unlike its continuum counterpart, the symmetry algebra involves lattice translations. Consequently, it is not described by a fusion category. In the presence of this defect, the symmetry algebra involving parity/time-reversal is realized projectively, which is reminiscent of an anomaly. Different Hamiltonians with the same lattice non-invertible symmetry can flow in their continuum limits to infinitely many different fusion categories (with different Frobenius-Schur indicators), including, as a special case, the Ising CFT. The non-invertible symmetry leads to a constraint similar to that of Lieb-Schultz-Mattis, implying that the system cannot have a unique gapped ground state. It is either in a gapless phase or in a gapped phase with three (or a multiple of three) ground states, associated with the spontaneous breaking of the lattice non-invertible symmetry.

연구 동기 및 목표

• 텐서 곱 격자 힐베르트 공간에서 간단한 역전능하지 않은 대칭을 동기화하고 정의하며, 이를 연속체 개념과 대조한다.
• 유한 사슬에서 역전능하지 않은 Kramers-Wannier 대칭을 구성하고 분석한다.
• 격자 결함과 이동이 역전능하지 않은 대칭과 어떤 상호작용을 하며 그 이상현상을 어떻게 드러내는지 탐구한다.
• 격자 구현을 연속체 융합 범주 설명 및 적외부에 나타나는 대칭과 연결한다.

제안 방법

• 이동과 Z2 대칭을 갖는 격자 구성과 역전능하지 않은 연산자 D를 정의한다. D^2 = (1+η) T^{-1}.
• 격자 연산자 X_j 및 Z_j Z_{j+1} 등에서 D의 작용을 기술한다.
• Kramers-Wannier 이중성 또는 Majorana/보소나이제이션 방법을 통해 D의 매트릭스 곱 MPO 구성을 제공한다.
• Z2나 이중성 결함과 같은 결함이 있는 경우와 없는 경우의 D에 대한 연산자 대수를 개발한다.
• 격자 D를 연속체의 역전능하지 않은 대칭 N과 연결하고 두 대수와 교환 관계를 비교한다.
• 역전능하지 않은 대칭의 이상현상(패리티/ 시간 반전 고려 포함)과 내부 대칭의 등장에 대해 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서 곱 힐베르트 공간을 갖는 격자에서 역전능하지 않은 대칭이 어떻게 실현될 수 있으며 격자 이동과 어떤 관련이 있는가?
• RQ2 격자와 연속체에서 역전능하지 않은 대칭이 생성하는 연산자 및 결함 대수는 무엇인가?
• RQ3 격자 결함 및 게이징 절차가 격자에서 역전능하지 않은 결함 및 연산자를 어떻게 만들어내는가?
• RQ4 역전능하지 않은 격자 대칭, 이상현상, 그리고 나타나는 연속체 대칭 간의 상호작용은 무엇인가?
• RQ5 D를 보존하는 유한 범위 해밀토니언은 갭이 없거나 대칭을 깨야 하며, 대칭이 깨진 경우 세 섹터 조건이 있다.

주요 결과

• 역전능하지 않은 격자 이동 연산자 D는 D^2 = (1+η) T^{-1}를 만족하고 η와 교환하며 Z2-짝수 상태를 투영한다.
• 격자 연산자에 대한 D의 작용은 X_j를 Z_{j-1} Z_j 곱하기 D로, Z_{j-1} Z_j를 X_{j-1} 곱하기 D로 매핑하여 격자에서 Kramers-Wannier 이중성을 보여준다.
• 격자 대칭 대수는 연속체와 다르고 체인 길이 L에 의존하며 무한 사슬에서 무한 차원으로 확장된다.
• 격자-연속체 논의는 연속체에서 나타나는 역전능하지 않은 대칭을 보이며 Ising-like 시스템에 관련된 TY 융합 범주 구조를 가진다.
• LSM-type 제약이 도출된다: D를 보존하는 유한 범위 해밀토니언은 갭이 없거나 대칭을 깨야 하며, 대칭이 깨진 경우 세 섹터 조건이 있다.
• 삼임계 아이징 모델은 위상 다이어그램과 임계점에서의 D와 η의 작용을 실례로 보여준다.