[논문 리뷰] Anomaly inflow and $p$-form gauge theories

Chang-Tse Hsieh, Yuji Tachikawa외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 25.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 120인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 $p$-형식 게이지 이론—치르알 및 비치르알 모두—의 이상을 이상 유입 메커니즘을 통해 체계적으로 이해할 수 있는 프레임워크를 제공한다. 여기서 경계 이상은 한 차원 높은 차원의 보다 위상적인 이론의 분할 함수로부터 기인한다. 주요 기여는 아티야-파돌리-식리($\mathrm{Atiyah}$-$\mathrm{Patodi}$-$\mathrm{Singer}$) $\eta$-항등식을 사용하여 이러한 이상을 명시적으로 계산한 것으로, 4차원 매aks웰 이론에서의 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 이상을 유도하고, 오리엔티폴드, 오르비폴드, $S$-폴드 배경에서의 D-브레인 및 M5-브레인 세계체 이론을 분석한다.

ABSTRACT

Chiral and non-chiral $p$-form gauge fields have gravitational anomalies and anomalies of Green-Schwarz type. This means that they are most naturally realized as the boundary modes of bulk topological phases in one higher dimensions. We give a systematic description of the total bulk-boundary system which is analogous to the realization of a chiral fermion on the boundary of a massive fermion. The anomaly of the boundary theory is given by the partition function of the bulk theory, which we explicitly compute in terms of the Atiyah-Patodi-Singer $η$-invariant. We use our formalism to determine the $\mathrm{SL}(2,{\mathbb Z})$ anomaly of the 4d Maxwell theory. We also apply it to study the worldvolume theories of a single D-brane and an M5-brane in the presence of orientifolds, orbifolds, and S-folds in string, M, and F theories. In an appendix we also describe a simple class of non-unitary invertible topological theories whose partition function is not a bordism invariant, illustrating the necessity of the unitarity condition in the cobordism classification of the invertible phases.

연구 동기 및 목표

• 이상 유입 메커니즘을 사용하여 치르알 및 비치르알 $p$-형식 게이지 장의 이상을 통합적으로 서술하기.
• 경계 이상을 $d+1$ 차원의 보다 위상적인 이론의 분할 함수로 계산하기.
• 이 형식을 사용하여 4차원 매aks웰 이론에서의 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 전역 이상을 결정하기.
• 스트링, M-, F-이론 배경에서 오리엔티폴드, 오르비폴드, $S$-폴드가 존재하는 D-브레인 및 M5-브레인 세계체 이론의 이상을 분석하기.
• 역행성 위상상태의 코보르디즘 분류에서 유니타리성의 필요성을 보여주기 위해 비유니타리 반례를 구성하기.

제안 방법

• 다양한 계수를 가진 미분 코hom로 $p$-형식 게이지 장과 그 이상을 기술하는 형식론.
• 경계 이상을 포함하는 보다 위상적인 이론의 분할 함수를 계산하기 위해 아티야-파돌리-식리($\mathrm{Atiyah}$-$\mathrm{Patodi}$-$\mathrm{Singer}$) $\eta$-항등식의 사용.
• 서명 인덱스 정리와 등변 인덱스 정리를 적용하여 렌스 공간과 오르비폴드에서의 $\eta$-항등식을 계산하기.
• 경계에 치르알 $p$-형식 장을 수용하는 $d+1$ 차원의 초코모스티안 유형의 보다 위상적인 이론을 구성하기.
• 인덱스 정리와 $\mathcal{T}^*_{+}$ 및 $\mathcal{T}^*_{-}$ 번들 간의 $\eta$-항등식 차이를 통해 이상 다항식 유도하기.
• APS 인덱스 정리를 사용하여 이상과 오일러 기수 $E$ 및 폰트리아진 기수 $p, p'$ 등의 특성 기수 간의 관계를 설정하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 $d=2p+2$ 에서 치르알 $p$-형식 게이지 장의 이상은 어떻게 보다-경계 이상 유입을 통해 체계적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 아티야-파돌리-식리($\mathrm{Atiyah}$-$\mathrm{Patodi}$-$\mathrm{Singer}$) $\eta$-항등식은 보다 이론의 분할 함수를 계산하고 경계 이상과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 4차원 매aks웰 이론에서의 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 대칭성 이상은 어떻게 보다 위상 이론에서 기인하는가?
• RQ4 오리엔티폴드, 오르비폴드, $S$-폴드는 D-브레인 및 M5-브레인 세계체 이론의 이상에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 왜 유니타리성은 역행성 위상상태의 코보르디즘 분류에 필수적인가? 비유니타리 예시는 이 분류를 어떻게 깨는가?

주요 결과

• 차원 $d=2p+2$ 에서 치르알 $p$-형식 장의 이상은 초코모스티안 유형의 보다 이론의 분할 함수로 계산되며, $\eta$-항등식이 정확한 이상 위상으로 기여한다.
• 4차원 매aks웰 이론의 경우, $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 대칭성 이상은 렌스 공간에서의 $\eta$-항등식을 통해 계산되며, 오일러 기수 1인 반구에 대해 비자명한 위상 인자 $-1$ 을 얻는다.
• 이론의 이상 다항식은 $\frac{1}{2}(E + I(p,p'))$ 로 주어지며, 이는 닫힌 다양체에서 정수 값을 가지는 특성 기수이므로 이상 상쇄를 보장한다.
• 이 형식론은 적절한 오르비폴드에서의 $\eta$-항등식을 사용하여 O3-평면 배경에서의 D3-브레인 이상과 O2-평면 배경에서의 D4-브레인 이상을 성공적으로 계산한다.
• 논문은 분할 함수가 보다 불변량이 아닌 비유니타리 역행성 위상장 이론을 구성하여, 역행성 위상상태의 코보르디즘 분류에서 유니타리성의 필수성을 보여준다.
• $\eta$-항등식 차이 $\eta(\mathcal{D}_{Y,\mathcal{T}^*_{+}}) - \eta(\mathcal{D}_{Y,\mathcal{T}^*_{-}})$ 는 디랙 연산자의 인덱스와 오일러 기수 $E$ 와 관련되어 있으며, $d+1=3,7,11$ 에 대해 명시적인 공식이 유도되었다.