[논문 리뷰] Anomaly matching and symmetry-protected critical phases in $SU(N)$ spin systems in 1+1 dimensions

Yuan Yao, Chang-Tse Hsieh외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 17.

Physics of Superconductivity and Magnetism인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 1+1차원 $SU(N)$ 스핀 체계에서 $SU(N)$ 회전 대칭과 이동 대칭을 갖는 경우, 단위 세포당 양-테이블 박스 수를 $N$으로 나눈 나머지로 유도된 위상적 불변량을 도입하여 이상 일치(anomaly matching)를 특성화한다. 이 불변량은 시스템이 고유한 가시된 상태를 실현할 수 있는지 여부 또는 대칭 보호 임계 상태, 예를 들어 $SU(N)$ 웨스-줄리언-워긴 이론과 같은 상태로 제한되는지를 결정하며, $N' > N$인 $SU(N')$과 같은 잠재적 고차 대칭도 제약을 받는다. 핵심 결과는 이상 일치를 통한 대칭 보호 임계 상태의 보편적 분류이다.

ABSTRACT

We study $(1+1)$-dimensional $SU(N)$ spin systems in the presence of the global $SU(N)$ rotation and lattice translation symmetries. By matching the mixed anomaly of the $PSU(N) imes\mathbb{Z}$ symmetry in the continuum limit, we identify a topological index for spin model evaluated as the total number of Young-tableaux boxes of spins per unit cell modulo $N$, which characterizes the "ingappability" of the system. A nontrivial index implies either a ground-state degeneracy in a gapped phase, which can be regarded as a field-theory version of the Lieb-Schultz-Mattis theorem, or a restriction of the possible universality classes in a critical phase -- the symmetry-protected critical phase, e.g. only a class of $SU(N)$ Wess-Zumino-Witten theories can be realized in the low-energy limit of the given lattice model in the presence of the symmetries. Similar constraints also apply when a higher global symmetry emerges in the model with a lower symmetry. Our prediction agrees with several examples known in previous studies of $SU(N)$ models.

연구 동기 및 목표

• 1+1차원의 $SU(N)$ 스핀 체계에서 $SU(N)$ 회전 대칭과 이동 대칭을 갖는 경우의 위상도 다이어그램에 대한 보편적 제약 조건을 규명하는 것.
• 이상 일치를 통해 리브-슐류츠-매티스 정리를 임계 상태까지 확장하는 것.
• 대칭 제약 조건 하에서 임계 상태의 가능한 유니버설리티 클래스, 특히 $SU(N)$ 웨스-줄리언-워긴 이론을 분류하는 것.
• 고유한 가시된 상태를 갖는지 여부를 결정하는 위상적 인덱스를 유도하는 것.
• 모델이 $SU(N)$ 대칭만을 갖는 경우에 $N' > N$인 $SU(N')$과 같은 더 높은 글로벌 대칭이 어떻게 나타나는지를 제약하는 것.

제안 방법

• 저자들은 펄서카의 방법을 사용하여 연속체 근사에서 $PSU(N)$와 $\bbZ$ (이동) 대칭 간의 혼합 't Hooft 이상을 계산한다.
• 이상은 스핀 표현에 관계없이 불변인, 단위 세포당 양-테이블 박스 총수를 $N$으로 나눈 나머지로 정의된 위상적 불변량으로 특성화된다.
• 이상은 2차원 다양체 위에서 디랙 연산자의 지수를 통해 계산되며, 위상적 인덱스 $\mathcal{I}_N$에 대해 $\exp(2\pi i \mathcal{I}_N / N)$의 위상 인자로 나타난다.
• 격자 모델과 저에너지 효과적 양자장 이론 간의 이상을 비교하여 허용 가능한 임계 상태에 대한 선택 규칙를 도출한다.
• 특정 $p$-중복 복사본은 $p = N' / \gcd(N', k'm')$이면 이상이 없음을 이용하여 LSM 인덱스에 대한 일致 조건을 유도한다.
• 이 방법은 가시된 상태와 임계 상태 모두에 적용되며, 인덱스가 고유한 가시된 상태가 가능한지를 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1+1차원의 $SU(N)$ 스핀 체계에서 단위 세포당 분수 스핀을 갖는 경우, $SU(N)$ 대칭과 이동 대칭 하에서 고유한 가시된 상태를 가질 수 있는가?
• RQ2 이러한 체계에서 허용 가능한 임계 상태의 유니버설리티 클래스는 무엇이며, 대칭과 이상 일치 조건으로 어떻게 제약을 받는가?
• RQ3 $N' > N$인 $SU(N')$ 대칭이 $SU(N)$ 대칭만을 갖는 모델에서 나타날 수 있는가? 만약 가능하면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ4 단위 세포당 양-테이블 박스 수를 $N$으로 나눈 나머지로 정의된 위상적 인덱스는 어떻게 지배되는가? 이는 지배 상태의 디세너지 또는 임계성을 결정하는가?
• RQ5 혼합 $PSU(N) \times \bbZ$ 이상은 가능한 저에너지 효과적 양자장 이론을 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• 단위 세포당 양-테이블 박스 총수를 $N$으로 나눈 나머지로 정의된 위상적 인덱스 $\mathcal{I}_N$는 시스템이 고유한 가시된 상태를 갖는지 여부를 결정한다.
• $\mathcal{I}_N \neq 0$이 비자명한 경우, 가시된 상태에서는 지배 상태의 디세너지가 발생하거나 특정 임계 상태로 제한되며, 리브-슐류츠-매티스 정리를 일반화한다.
• 임계 상태에서는 이상 일치 제약 조건으로 인해 특정 수준 $k$를 갖는 $SU(N)$ 웨스-줄리언-워긴 이론들만 실현 가능하다.
• $N' > N$인 $SU(N')$과 같은 더 높은 대칭의 존재는 제약을 받는다: 이러한 대칭은 $\mathcal{I}_N \cdot N' / \gcd(N', k'm') \equiv 0 \mod N$ 조건을 만족할 때만 나타날 수 있으며, 이는 특정 경우에 이러한 대칭의 존재를 금지한다.
• 이상 일치 조건은 $SU(2)$-대칭 반정수 스핀 사슬에서 $SU(3)$ 대칭이 관측되지 않은 이유를 설명한다. 이는 이론적 기대와는 다르게 나타나지만, 이상 일치 조건이 이를 설명한다.
• 이 방법은 $SU(N)$ 모델에서 알려진 결과를 성공적으로 재현하며, 대칭 보호 임계 상태를 분류하는 통합된 프레임워크를 제공한다.