[논문 리뷰] Anticyclotomic p-ordinary Iwasawa Theory of Elliptic Modular Forms

Kâzım Büyükboduk, Antonio Lei|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $p$ 가 분해되는 허수 이차체 위에서 $k \geq 2$ 무게의 타원 모듈라 형식에 대해, Beilinson-Flach 원소와 명시적 상호작용 법칙을 사용하여 반시계 방향 $p$-일반 Iwasawa 주요 추측을 수립한다. $p$-진 $L$-함수는 이중 세르머 그룹의 특성 이상에서 위치함을 증명하며, 오일러 시스템 기법과 $p$-진 높이 쌍화를 통해 고전 결과를 비-CM, $p$-일반 형식으로 확장한다.

ABSTRACT

This is the first in a series of articles where we will study the Iwasawa theory of an elliptic modular form f along the anticyclotomic Zp-tower of an imaginary quadratic field K where the prime p splits completely. Our goal in this portion is to prove the Iwasawa main conjecture for suitable twists of f assuming that f is p-ordinary, both in the definite and indefinite setups simultaneously, via an analysis of Beilinson-Flach elements.

연구 동기 및 목표

• 허수 이차체의 반시계 방향 $\mathbb{Z}_p$-확장에서 $p$ 가 분해되는 조건 하에 $p$-일반 타원 모듈라 형식에 대한 Iwasawa 주요 추측을 수립하는 것.
• 이전의 CM 형식과 타원곡선에 대한 결과를 오일러 시스템 기반 Beilinson-Flach 원소를 사용하여 비-CM, $p$-일반 모듈라 형식으로 확장하는 것.
• Rankin-Selberg $L$-함수와 $p$-진 $L$-함수를 기반으로 한 단일 프레임워크를 통해 반시계 방향 Iwasawa 이론의 정적 및 비정적 경우를 통합하는 것.
• 순환 도함수를 사용한 Beilinson-Flach 원소의 반시계 방향 $p$-진 높이 쌍화에 대한 Rubin 스타일의 공식을 증명하는 것.

제안 방법

• 결과 [KLZ15a]를 활용하여 Rankin-Selberg 콘볼루션을 통해 $K$ 위에서 Beilinson-Flach 클래스의 오일러 시스템을 구성한다.
• Coleman 사상과 명시적 상호작용 법칙을 적용하여 Beilinson-Flach 원소를 $p$-진 $L$-함수와 연결한다.
• 반시계 방향 타워에서의 $p$-진 높이 쌍화를 사용하여 Beilinson-Flach 원소의 도함수와 $p$-진 $L$-함수를 연결한다.
• Coleman-Perrin-Riou 사상을 활용하여 오일러 시스템의 순환 도함수와 $p$-진 $L$-함수 $\mathfrak{L}_{f,1}^{(\alpha)}$를 연결한다.
• Nekovář의 $p$-진 높이 쌍화 이론과 테이트 대칭을 활용하여 반시계 방향 설정에서 Rubin 스타일의 공식을 유도한다.
• 특성 이상과 $p$-진 $L$-함수 사이의 나눗셈 결과를 수립하며, 추가 가정 하에 등식으로 승격시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $p$ 가 분해되는 허수 이차체 위에서 비-CM, $p$-일반 모듈라 형식에 대해 반시계 방향 Iwasawa 주요 추측이 성립하는가?
• RQ2 Beilinson-Flach 원소를 사용하여 반시계 방향 $\mathbb{Z}_p$-확장에서 세르머 그룹을 제어하는 오일러 시스템을 구성할 수 있는가?
• RQ3 반시계 방향 설정에서 Beilinson-Flach 원소의 도함수와 $p$-진 $L$-함수를 연결하는 $p$-진 높이 쌍화 공식이 존재하는가?
• RQ4 세르머 그룹의 특성 이상에 $p$-진 $L$-함수가 포함되어 있을 때, 어떤 조건에서 등식이 성립하는가?
• RQ5 $\mathfrak{p}^c$ 에서의 국소 조건은 세르머 그룹과 $p$-진 $L$-함수의 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $p$-진 $L$-함수 $\mathfrak{L}_{f,1}^{(\alpha)}$ 는 이상 $\mathfrak{Reg}_{\textup{ac}} \cdot \mathrm{char}(\mathfrak{X}(f\otimes\alpha/D_{\infty})_{\textup{tor}}) \otimes_{\Lambda_{\textup{ac}}^{\mathfrak{o}}} \mathcal{R}_{L}^{\textup{ac}}$ 에 속함을 증명하며, 이는 특성 이상의 주요 추측을 조건부로 증명한다.
• 추가 가정—$N$ 이 제곱 자유, $\rho_f$ 가 $N^-$ 를 나누는 소수에서 분기하며, 무게-2 조건—하에 포함관계가 등식으로 승격된다: $\mathfrak{L}_{f,1}^{(\alpha)}$ 는 세르머 그룹의 특성 이상을 생성한다.
• Beilinson-Flach 원소의 순환 도함수 $\mathfrak{d}\textup{BF}_{D_{\infty}}$ 는 Coleman-Perrin-Riou 사상 하에서 $\mathfrak{L}_{f,1}^{(\alpha)}$ 로 사상됨을 보였다.
• Rubin 스타일의 공식이 확립됨: 반시계 방향 $p$-진 높이 쌍화는 $\mathfrak{h}^{\textup{ac}}_p(\textup{BF}_{D_{\infty}}, \mathfrak{y}) = -\langle \mathfrak{d}\textup{BF}_{D_{\infty}}, \textup{res}_{\mathfrak{p}^c}(\mathfrak{y}) \rangle_{\textup{Tate}}$ 를 만족하며, 이는 높이 쌍화를 도함수 오일러 시스템과 연결한다.
• Beilinson-Flach 원소의 오일러 시스템은 [KLZ15a]의 일반화를 통해 $K$ 위에서 구성되었으며, 이는 고차원 무게와 비-CM 형식으로 방법을 확장한다.
• 증명은 반시계 방향 Beilinson-Flach 오일러 시스템의 비영성에 의존하며, 이는 $p$-진 $L$-함수의 비영성과 명시적 상호작용 법칙을 통해 확보된다.