[논문 리뷰] Application of the Direct Combined Approach to Expansion of Double Stratonovich Stochastic Integrals

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 다중 및 반복 푸리에 급수를 사용하여 이중 스트라토노비치 확률적 적분을 직접 결합하는 방법을 개발한다. 전개의 두 부분에 대해 평균제곱수렴성을 확립하였으며, 첫 번째로 $[t, T]^2$에서 $L_2$-수렴하는 급수를 통해, 두 번째로 점별 수렴하는 반복 급수를 통해 이루어지며, 고전적 해석학에 기반한 반복적 극한 전환을 통해 검증되었다. 이 방법은 이토 확률미분방정식의 개선된 수치적 적분을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The article is devoted to the expansion of double Stratonovich stochastic integrals on the base of the direct combined approach of generalized multiple Fourier series. We consider two different parts of the expansion of double Stratonovich stochastic integrals. The mean-square convergence of the first part is proven on the base of generalized multiple Fourier series, converging in $L_2([t, T]^2).$ The mean-square convergence of the second part is proven on the base of double generalized repeated Fourier series, converging pointwise. At that, we prove the iterative limit transition for the second part on the base of the classical theorems of mathematical analysis. The results of the article can be applied to numerical integration of Ito stochastic differential equations.

연구 동기 및 목표

• 이중 스트라토노비치 확률적 적분을 일반화된 푸리에 급수를 사용하여 체계적인 전개 방법을 개발하기 위해.
• 일반화된 다중 푸리에 급수를 이용하여 $L_2([t, T]^2)$-수렴성에 기반한 전개의 첫 번째 부분에 대한 평균제곱수렴성을 확립하기 위해.
• 이중 일반화된 반복 푸리에 급수를 통해 전개의 두 번째 부분에 대한 점별 수렴성을 입증하기 위해.
• 고전적 해석학 정리에 기반한 반복적 극한 전환을 통해 전개의 두 번째 부분의 수렴성을 검증하기 위해.
• 이토 확률미분방정식의 적분을 위한 수치적으로 실현 가능한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 전개의 첫 번째 부분은 이중 스트라토노비치 적분을 $L_2([t, T]^2)$에서의 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 표현한다.
• 전개의 두 번째 부분은 점별 수렴을 보장하는 이중 일반화된 반복 푸리에 급수를 사용하여 적분을 표현한다.
• 두 번째 부분의 수렴성은 고전적 해석학 정리에 기반한 반복적 극한 전환을 통해 엄밀히 정당화된다.
• 이 방법은 이중 스트라토노비치 적분을 위한 통합된 전개 프레임워크로 두 급수 표현 방식을 결합한다.
• 정규직교 함수 체계를 활용하여 평균제곱수렴성 및 점별 수렴성의 안정성과 수렴성을 보장한다.
• 이 프레임워크는 이토 확률미분방정식의 수치적 해법에 실용적으로 적용될 수 있도록 설계되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 푸리에 급수를 사용하여 이중 스트라토노비치 확률적 적분을 보장된 수렴성과 함께 전개할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 어떤 조건이 $L_2([t, T]^2)$ 공간에서 전개의 첫 번째 부분에 대한 평균제곱수렴성을 보장하는가?
• RQ3 반복 푸리에 급수를 사용하여 전개의 두 번째 부분에 대한 점별 수렴성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 반복적 극한 전환은 두 번째 부분의 수렴성 검증에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 전개 방법은 이토 확률미분방정식의 수치적 적분을 어떤 방식으로 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 전개의 첫 번째 부분은 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 $L_2([t, T]^2)$ 공간 내에서 평균제곱수렴성을 보인다.
• 전개의 두 번째 부분은 이중 일반화된 반복 푸리에 급수를 통해 점별 수렴성을 달성한다.
• 두 번째 부분에 대한 반복적 극한 전환은 고전적 해석학 정리에 기반하여 엄밀히 정당화된다.
• 수렴 결과는 피적분함수와 정규직교 기저 함수에 대한 일반적인 조건 하에서 확립된다.
• 제안된 방법은 이중 스트라토노비치 적분을 근사하는 신뢰할 수 있고 수치적으로 구현 가능한 프레임워크를 제공한다.
• 이 방법은 이토 확률미분방정식의 수치적 해법에서 더 높은 정확도와 안정성을 지원한다.