[논문 리뷰] Application of the Method of Approximation of Iterated Ito Stochastic Integrals Based on Generalized Multiple Fourier Series to the High-Order Strong Numerical Methods for Non-Commutative Semilinear Stochastic Partial Differential Equations

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 44인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 비가환성인 비선형 스토크래틱 편미분방정식(SPD)에 대해, 추적 클래스 노이즈를 갖는 고차수 강한 수치해법을 제시한다. 이는 일반화된 다중 푸리에 급수—특히 레지온드르 다항식—을 사용하여 임의의 차수의 반복 이토 적분을 근사한다. 주요 기여는 무한차원 Q-위너 과정을 유한차원 근사로 줄이는 평균제곱근 수렴 스킴을 제공함으로써, 높은 차수의 시간 이산화를 효율적으로 가능하게 하는 것이다. 이로 인해 지수 워거-플라텐 유형의 수치해법에서 $1.5 - \varepsilon$ 수준의 수렴 속도를 달성한다.

ABSTRACT

We consider a method for the approximation of iterated stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in \mathbb{N})$ with respect to the infinite-dimensional $Q$-Wiener process using the mean-square approximation method of iterated Ito stochastic integrals with respect to the scalar standard Wiener processes based on generalized multiple Fourier series. The case of multiple Fourier-Legendre series is considered in details. The results of the article can be applied to construction of high-order strong numerical methods (with respect to the temporal discretization) for the approximation of mild solution for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise.

연구 동기 및 목표

• 비가환성 비선형 SPDE에 대해 다가역성 추적 클래스 노이즈를 갖는 고차수 강한 수치해법을 개발하기 위해.
• 무한차원 Q-위너 과정에 대한 임의의 차수의 반복 이토 적분을 근사하는 데 발생하는 계산적 과제를 해결하기 위해.
• 이전에 스칼라 위너 과정에 사용된 일반화된 다중 푸리에 급수 방법을 유한차원 근사로 확장하여 무한차원 경우에 적용하기 위해.
• 결과적으로 유도된 수치해법의 평균제곱수렴 속도를 확립하기 위해, 특히 지수 밀스타인 및 워거-플라텐 유형의 방법에 대해.
• 오차 한계에서 계승항 $(k!)^2$을 그 제곱근 $k!$로 대체함으로써 계산 비용을 줄여 실용적인 구현을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 무한차원 Q-위너 과정에 대한 차수 $k$의 반복 이토 적분을 일반화된 다중 푸리에 급수—특히 다중 푸리에-레지온드르 급수—를 사용하여 근사한다.
• 공분산 연산자 $Q$의 고유함수와 $U_0$ 내의 정규직교기저 $\{e_r\}$을 사용하여 무한차원 Q-위너 과정을 유한차원 근사로 줄인다.
• 반복 스토크래틱 적분을 스칼라 스토크래틱 적분 $I_{(1)T,t}^{(r)}$ 및 $J_{(01)T,t}^{(r_1 r_2)}$ 로 표현하고, 이들을 푸리에-레지온드르 전개로 근사한다.
• 절단된 레지온드르 다항식 전개를 사용하여 근사 $J_{(01)T,t}^{(r_1 r_2)q}$ 를 정의하고, $q \to \infty$ 일 때 평균제곱근 수렴을 보장한다.
• 바나흐 공간에서의 테일러 공식과 온전한 해를 위한 지수 공식을 적용하여 SPDE에 대한 고차수 수치해법을 도출한다.
• SPDE의 온전한 해의 구조와 $F$ 및 $B$의 프레셰 도함수를 활용하여 $F'$, $B'$, $B''$ 를 포함하는 반복 적분을 근사된 스토크래틱 적분으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 Q-위너 과정에 대한 임의의 차수의 반복 이토 적분을 높은 정확도로 근사하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 일반화된 다중 푸리에 급수 기반의 평균제곱근 수렴 방법이 이러한 적분에 대해 갖는 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 이 방법을 비가환성 비선형 SPDE에 대해 다가역성 추적 클래스 노이즈를 갖는 고차수 강한 수치해법을 구성하는 데 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ4 레지온드르 다항식 전개는 다른 푸리에 급수와 비교하여 계산 효율성과 오차 제어 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 오차 추정치에서 $(k!)^2$을 $k!$로 대체할 경우 실용적 구현과 계산 비용에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이 방법은 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 차수 $k$의 반복 이토 적분을 평균제곱근으로 근사하며, 수렴 속도는 절단 파arameter $q$ 에 따라 달라진다.
• 적분 $I_7[B(Z),F(Z)]_{T,t}^{M}$ 에 대해 평균제곱오차는 $2^2 C (2!)^2 ({\rm tr}\, Q)^2 E_q$ 이하로 유계이며, 여기서 $E_q$ 는 레지온드르 급수 근사에서 발생하는 오차이다.
• 적분 $I_8[B(Z),F(Z)]_{T,t}^{M}$ 에 대해 평균제곱오차는 $C (2!)^2 ({\rm tr}\, Q)^2 E_q$ 이하이며, 이전 사례와 동일한 오차 항 $E_q$ 로 정의된다.
• 오차 한계 $E_q$ 는 $q \to \infty$ 일 때 감소하므로, 근사 스킴이 진짜 적분으로 거의 확실히 수렴함을 보장한다.
• 계산 실험 결과에서 오차 한계의 인자 $k!$ 는 실질적으로 무시할 수 있으며, 이는 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• 이 방법은 지수 워거-플라텐 유형의 수치해법을 구성할 수 있게 하여, 이론적 기대와 일치하는 강한 수렴 차수 $1.5 - \varepsilon$ 를 달성한다.