[논문 리뷰] Numerical Simulation of 2.5-Set of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 5 From the Taylor-Stratonovich Expansion

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 33인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 다중성 1에서 5까지의 반복 이to 스트라토노비치 확률적 적분에 대해 일반화된 다중 푸리에-레지온드르 급수를 이용한 새로운 평균 제곱 근사 방법을 제시한다. $L_2([t,T]^k)$에서의 정규직교 전개를 활용함으로써, 다차원 비가환성 소음이 있는 이토 SDE에 대해 고정밀 수치 적분이 가능해지며, 이는 2.5차 수준의 명시적 단계별 강한 수치적 방법을 보장하는 수렴 속도를 제공한다.

ABSTRACT

The article is devoted to construction of effective procedures of the mean-square approximation for iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 5. We apply the method of generalized multiple Fourier series for approximation of iterated stochastic integrals. More precisely, we use multiple Fourier-Legendre series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t,T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ Considered iterated Stratonovich stochastic integrals are part of the Taylor-Stratonovich expansion. That is why the results of the article can be applied to implementation of numerical methods with the orders 1.0, 1.5, 2.0 and 2.5 of strong convergence for Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noise.

연구 동기 및 목표

• 다중성 1에서 5까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분에 대한 효과적인 평균 제곱 근사 절차 개발
• 고차원 SDE에서 반복 이토 및 스트라토노비치 적분의 집합적 근사 문제에 기여
• 비가환성 소음이 있는 이토 SDE에 대해 1.0, 1.5, 2.0, 2.5차 수준의 명시적 단계별 강한 수치적 방법의 구현 가능
• 힐베르트 공간 $L_2([t,T]^k)$에서의 일반화된 다중 푸리에 급수를 통한 오차 추정 및 수렴 분석의 체계적 프레임워크 제공

제안 방법

• 다중성 $k=1,\dots,5$에 대해 $L_2([t,T]^k)$에서 반복 스트라토노비치 적분의 평균 제곱 근사를 위한 일반화된 다중 푸리에-레지온드르 급수 활용
• 레지온드르 다항식 기반 정규직교 전개를 이용해 확률적 적분을 표현함으로써 $L_2$-노름에서 수렴 보장
• 레지온드르 기저 함수와의 적분을 통해 푸리에 계수 $C_{j_k\dots j_1}^{(i_1\dots i_k)}$의 명시적 공식 유도
• 타일러-스트라토노비치 전개를 적용해 SDE 해를 반복 적분의 형태로 표현함으로써 고차수 수치적 방법 가능
• $L_2$-노름 추정을 통한 오차 한계 설정: 유한한 $q$에 대해 평균 제곱 오차가 $\mathcal{O}(\Delta^2/q)$로 감소함을 입증
• 해석적 오차 표현을 통한 방법 검증, 예를 들어 $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(i_1\dots i_k)} - I^{*}_{(i_1\dots i_k)q}\right)^2\right] \leq K\frac{\Delta^2}{q}$ 형태로 표현되며, $K$는 $\Delta$에 의존하지 않음

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중성 1에서 5까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분은 어떻게 평균 제곱 의미에서 효과적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 이러한 적분에 대해 일반화된 다중 푸리에-레지온드르 급수 근사의 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ3 타일러-스트라토노비치 전개에서 다양한 색인 조합 $i_1,\dots,i_k$와 함수 유형 $\psi_l(\tau)$에 대해 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ4 정규직교 급수 전개를 통해 근사 오차를 정량적으로 추정하고 최소화할 수 있는가?
• RQ5 확장 항의 수 $q$가 다양한 다중성에 대해 근사 정확도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이 방법은 $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(i_1\dots i_k)} - I^{*}_{(i_1\dots i_k)q}\right)^2\right] \leq K\frac{\Delta^2}{q}$ 형태의 평균 제곱 오차 한계를 확보하며, $K$는 $\Delta$에 독립적이므로 강력한 수렴 보장
• 다중성 $k=3$일 때, $q=6$이면 $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(000)} - I^{*}_{(000)6}\right)^2\right] \approx 0.01956\Delta^3$로 나타나 삼중 적분에 대해 높은 정확도 확보
• 다중성 $k=3$이고 $i_1=1, i_2=0, i_3=0$일 경우, $q=2$일 때 오차 $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(100)} - I^{*}_{(100)2}\right)^2\right] \approx 0.008154\Delta^5$로 나타나 비대칭 케이스에서도 빠른 수렴 속도 확보
• 명시적 오차 표현, 예를 들어 $\frac{\Delta^5}{60} - \sum_{j_1,j_2,j_3=0}^{2} \left(C_{j_3j_2j_1}^{100}\right)^2 \approx 0.008154\Delta^5$ 제공로 정확한 오차 제어 가능
• 다중성 $k=5$일 경우, $q=1$일 때 오차 $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(00000)} - I^{*}_{(00000)1}\right)^2\right] \approx 0.007591\Delta^5$로 나타나 낮은 $q$에서도 뛰어난 성능 확보
• 이 방법은 타일러-스트라토노비치 전개를 활용해 다차원 비가환성 소음이 있는 이토 SDE에 대해 2.5차 강한 수치적 방법의 구축 가능