[논문 리뷰] Approximate Consensus in Highly Dynamic Networks.

Bernadette Charron-Bost, Matthias Függer외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 04.

Distributed systems and fault tolerance인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 위상이 예측 불가능하게 변화하는 매우 동적인 네트워크에서 약간의 일致(consensus)가 가능하다는 것을 입증한다. 각 라운드의 통신 그래프가 루트가 있는 스패닝 트리를 포함하면, 조정자(루트)가 임의로 변화하더라도 가능하다. 이 논문은 단순한 평균화 알고리즘들이 해법의 가능성을 완전히 기술함을 보이며, ε 정밀도를 달성하는 데 O(n^{n+1} log(1/ε))의 동기 라운드가 필요하다. 메시지 지연이 유한한 경우 더 날카운 bounds를 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the approximate consensus problem in highly dynamic networks in which topology may change continually and unpredictably. We prove that in both synchronous and partially synchronous systems, approximate consensus is solvable if and only if the communication graph in each round has a rooted spanning tree, i.e., there is a coordinator at each time. The striking point in this result is that the coordinator is not required to be unique and can change arbitrarily from round to round. Interestingly, the particularly simple class of averaging algorithms entirely captures the solvability issue of approximate consensus in that the problem is solvable if and only if it can be solved using any averaging algorithm. We show that approximate consensus can be achieved with precision of $\varepsilon$ in a coordinated network model in $O(n^{n+1} \log\frac{1}{\varepsilon})$ synchronous rounds, and in $O(\Delta n^{n\Delta+1} \log\frac{1}{\varepsilon})$ rounds when the maximum round delay for a message to be delivered is $\Delta$. We investigate various network models in which this exponential bound in the number of nodes reduces to a polynomial bound, and we prove that a general upper bound on the time complexity of averaging algorithms has to be exponential. We apply our results to networked systems with a fixed topology and classical benign fault models, and deduce both known and new results for approximate consensus in these systems. In particular, we show that for solving approximate consensus, a complete network can tolerate up to $2n-3$ arbitrarily located link faults at every round, in contrast with the impossibility result established by Santoro and Widmayer (STACS '89) showing that exact consensus is not solvable with $n-1$ link faults per round originating from the same node.

연구 동기 및 목표

• 예측 불가능한 위상 변화가 있는 매우 동적인 네트워크에서 약간의 일치를 해결하기 위한 필수 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 단순한 평균화 알고리즘이 이러한 시스템에서 약간의 일치의 가능성을 완전히 기술할 수 있는지 조사하는 것.
• 다양한 네트워크 모델, 특히 메시지 지연이 유한한 경우를 포함하여 약간의 일치의 시간 복잡도에 대한 날카운 상한을 수립하는 것.
• 특히 링크 장애가 있는 고정 위상 네트워크에서 알려진 일치 결과를 악성 장애 모델에 확장하는 것.
• 정확한 일치에 대한 이전의 불가능성 결과를 재정비하여, 더 강력한 장애 모델에서도 약간의 일치가 가능하다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 약간의 일치가 동기 및 부분적으로 동기 시스템에서 각 라운드의 통신 그래프가 루트가 있는 스패닝 트리를 포함하는 것과 동치로 가능함을 증명한다.
• 약간의 일치의 가능성이 네트워크의 동적 특성과 관계없이 평균화 알고리즘의 클래스에 완전히 포괄됨을 보여준다.
• 평균화 알고리즘의 수렴 시간을 분석하여, ε 정밀도를 달성하는 데 최대 O(n^{n+1} log(1/ε))의 동기 라운드 상한을 도출한다.
• 최대 메시지 지연 Δ를 가진 부분적으로 동기 시스템으로 분석을 확장하여, O(Δ n^{nΔ+1} log(1/ε))라운드의 상한을 도출한다.
• 일부 네트워크 모델에서는 지수 상한이 다항식 시간으로 줄어들지만, 일반적으로 평균화 알고리즘의 상한은 지수여야 함을 보여준다.
• 고정 위상 네트워크에서의 결과를 적용하여, 링크 장애가 있는 경우에 대해 약간의 일치의 새로운 가능 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 예측 불가능한 위상 변화가 있는 매우 동적인 네트워크에서 약간의 일치를 위한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 조정자 변화가 있더라도 평균화 알고리즘이 동적 네트워크에서 약간의 일치의 가능성을 완전히 기술할 수 있는가?
• RQ3 메시지 지연이 유한한 조건에서 약간의 일치를 ε 정밀도로 달성하기 위한 최적의 시간 복잡도 상한은 무엇인가?
• RQ4 동일한 장애 모델에서 약간의 일치와 정확한 일치의 가능성을 비교했을 때, 특히 장애 내성 측면에서 어떤 차이가 있는가?
• RQ5 링크 장애가 있는 고정 위상 네트워크에서, 한 라운드에 허용 가능한 링크 장애의 최대 수는 얼마인가?

주요 결과

• 약간의 일치는 각 라운드의 통신 그래프가 루트가 있는 스패닝 트리를 포함하는 한, 조정자(루트)가 매 라운드에 임의로 변화하더라도 매우 동적인 네트워크에서 가능하다.
• 평균화 알고리즘의 클래스는 동적 네트워크에서 약간의 일치의 가능성을 완전히 기술한다. 즉, 문제는 어떤 평균화 알고리즘으로도 해결 가능한 경우에만 해결 가능하다.
• ε 정밀도를 달성하는 데 필요한 시간 복잡도는 최악의 경우 O(n^{n+1} log(1/ε))의 동기 라운드이다.
• 메시지 지연 Δ가 유한한 경우 시간 복잡도는 O(Δ n^{nΔ+1} log(1/ε))로 증가하며, 네트워크 크기와 지연에 모두 의존함을 보여준다.
• 일부 네트워크 모델에서는 시간 복잡도의 지수 상한이 다항식 시간으로 줄어들지만, 일반적으로 평균화 알고리즘의 상한은 지수여야 한다.
• 고정 위상 네트워크에서는 완전한 네트워크가 한 라운드에 최대 2n−3개의 임의로 위치한 링크 장애를 견딜 수 있으며, 이는 정확한 일치에서 깨지는 n−1 장애 한계를 초월한다 (Santoro 및 Widmayer, STACS '89 참조).