[논문 리뷰] Approximating local properties by tensor network states with constant bond dimension

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 24.

Quantum many-body systems참고 문헌 36인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 레니 지수 α < 1인 레니 엔트로피의 면적 법칙을 만족하는 양자 다체 상태가 유한한 결합 차수를 가진 텐서 네트워크 상태로 근사 가능하다는 것을 증명한다. 일차원에서는 다항식(1/δ)의 결합 차수를 가진 행렬 곱 상태(MPS)가 모든 국소적 성질을 정확도 δ로 근사하며, 이차원에서는 지수적으로 작은 결합 차수 e^{O(1/δ)}를 가진 사영된 얽힌 쌍 상태(PEPS)가 동일한 성능을 보인다. 이러한 결과는 면적 법칙에 로그 보정이 있는 경우에도 확장 가능하다.

ABSTRACT

Suppose we would like to approximate all local properties of a quantum many-body state to accuracy $δ$. In one dimension, we prove that an area law for the Renyi entanglement entropy $R_α$ with index $α&lt;1$ implies a matrix product state representation with bond dimension $\mathrm{poly}(1/δ)$. For (at most constant-fold degenerate) ground states of one-dimensional gapped Hamiltonians, it suffices that the bond dimension is almost linear in $1/δ$. In two dimensions, an area law for $R_α(α&lt;1)$ implies a projected entangled pair state representation with bond dimension $e^{O(1/δ)}$. In the presence of logarithmic corrections to the area law, similar results are obtained in both one and two dimensions.

연구 동기 및 목표

• 주어진 정확도 δ로 양자 다체 상태의 국소적 관측량을 근사하기 위해 필요한 결합 차수의 엄밀한 경계를 설정하는 것.
• 특히 열역학적 한계에서 면적 법칙과 효율적인 텐서 네트워크 근사 간의 격차를 해결하는 것.
• 1차원에서 갭이 있는 해밀토니안의 고유상태에 대해, 결합 차수가 1/δ에 거의 선형적으로 증가함을 보여주는 것. 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• 이러한 결과를 면적 법칙에 로그 보정이 있는 시스템으로 확장하여 1차원 및 2차원 모두에서 경계를 제공하는 것.
• 행렬 곱 상태(MPS)와 사영된 얽힌 쌍 상태(PEPS)가 뉴먼 엔트로피로 유한하지 않은 경우에도 국소적 성질을 효율적으로 표현할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 엔트로피를 측정하기 위해 α < 1인 레니 엔트로피 Rα를 사용하며, 이는 뉴먼 엔트로피보다 경계를 더 잘 설정할 수 있다.
• 시스템의 국소적 영역에 대해 잘라내기 추론을 적용하고, 레마 2를 사용하여 잘라낸 후 국소 관측량의 기댓값 오차를 경계한다.
• 2차원에서 PEPS를 구성하기 위해 국소 근사(작은 블록에서의 MPS)를 타일링하고, 등급을 유지하는 등급 변환을 사용하여 잘라낸 상태를 전역 PEPS로 매핑한다.
• 정기적인 타일링 구조와 유니타리 변환을 사용하여 국소 오차를 평균화함으로써, 모든 국소 관측량에 대해 전역 정확도 δ를 확보한다.
• MPS의 표준형을 사용하여 최적의 잘라내기를 보장하고, 레니 엔트로피 제약 조건을 통해 스미스 계수를 경계한다.
• 면적 법칙에 로그 보정을 적용하기 위해 잘라내기 차수 D′의 스케일링을 조정함으로써, 최종 결합 차수에 다항로그 인자를 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레니 엔트로피 면적 법칙(α < 1)이 국소적 성질을 유한한 결합 차수를 가진 텐서 네트워크로 근사할 수 있도록 보장할 수 있는가?
• RQ2 1차원 양자 상태의 모든 국소 관측량을 정확도 δ로 근사하기 위해 필요한 MPS의 최소 결합 차수는 얼마인가?
• RQ3 동일한 엔트로피 조건 하에서 2차원에서 PEPS에 대해 유사한 경계가 성립하는가?
• RQ4 면적 법칙에 로그 보정이 있을 경우, 정확한 근사화를 위해 필요한 결합 차수는 어떻게 영향을 받는가?
• RQ5 열역학적 한계에서 뉴먼 엔트로피 면적 법칙이 실패하더라도, 국소 관측량에 대해 결합 차수가 시스템 크기와 무관하게 유지될 수 있는가?

주요 결과

• 1차원에서는 레니 엔트로피 면적 법칙(α < 1)이 존재할 경우, 모든 국소적 성질을 정확도 δ로 근사하는 데 다항식(1/δ)의 결합 차수를 가진 MPS 근사를 가능하게 한다.
• (최대 상수 배수의 디제너레이션을 가진) 1차원 갭이 있는 해밀토니안의 고유상태에 대해, 필요한 결합 차수는 1/δ에 거의 선형적으로 증가한다.
• 2차원에서는 Rα(α < 1)의 면적 법칙이 존재할 경우, 정확도 δ로 동일한 근사를 가능하게 하는 PEPS 근사의 결합 차수는 e^{O(1/δ)}이다.
• 로그 보정이 존재할 경우, 1차원 MPS의 결합 차수는 보정 계수 cα에 따라 의존하는 다항식(1/δ)의 형태로 증가한다.
• 2차원에서 로그 보정이 있을 경우, PEPS 근사의 결합 차수는 e^{~O(1/δ)}로 증가하며, 여기서 ~O는 다항로그 인자를 숨긴다.
• 이 구성은 등급과 유니타리 평균화를 사용한 국소 MPS 근사의 타일링을 통해 전역 정확도를 확보하면서도 유한한 결합 차수를 유지한다.