[논문 리뷰] Arithmetic on Balanced Parentheses: The case of Ordered Motzkin Words

Gennady Eremin|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 05.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 '0'을 포함하지 않는 균형 잡힌 괄호 수열인 Motzkin 단어 집합에 대해 사전순으로 정렬을 도입하며, 이를 자연수와 유사한 수열로 간주한다. 이 정렬된 수열인 Motzkin Row에서 산술 및 논리 연산을 정의하고, '0'을 영원소로 삼아 인덱스 기반 연산과 다항식 표현을 가능하게 하여 단어의 조작 및 탐색을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We establish a total lexicographical order on the set of Motzkin words. Elements are ordered similarly to Natural Numbers in accordance with known rules (axioms). As a result, we were able to obtain arithmetic and logical operations on the elements of the ordered sequence, Motzkin Row. This sequence consists of balanced brackets without leading zeros, with the exception of the initial word "0". It is the word "0" as well as the alphabetical symbol "0" that are analogues of numeric zero in the corresponding operations. Logical operations allow you to navigate Motzkin Row. Operations on words are accompanied by index equations, index polynomials.

연구 동기 및 목표

• Motzkin 단어 집합에 대해 전체 사전순 정렬을 정의하여, 이를 자연수와 유사한 수열로 간주한다.
• 이 정렬된 수열인 Motzkin Row에서 산술 및 논리 연산을 정의하여 균형 잡힌 괄호 단어의 체계적인 조작을 가능하게 한다.
• 이 시스템에서 '0'을 영원소로 식별하며, 단어로서의 '0'과 수치적 영원소의 기호적 유사체로 기능한다.
• 단어 연산을 인코딩할 수 있는 인덱스 방정식 및 인덱스 다항식을 유도하여 알고리즘 기반의 탐색 및 계산을 가능하게 한다.
• 균형 잡힌 괄호 구조에 대한 산술의 형식적 프레임워크를 제공하여 수론적 개념을 조합적 단어 구조로 확장한다.

제안 방법

• 표준 사전순 규칙에 따라 문자별로 비교함으로써 Motzkin 단어에 대해 전체 사전순 정렬을 정의한다.
• 모든 유효한 Motzkin 단어를 순서대로 나열한 Motzkin Row를 구성하며, 첫 번째 원소로 '0'을 포함한다.
• 그들의 사전순 인덱스를 이용하여 단어의 산술 연산(덧셈, 곱셈)과 논리 연산(비교, 소속 여부 확인)을 도입한다.
• 단어 연산을 인덱스 산술로 매핑하는 인덱스 방정식을 개발하여 문자열 조작 없이도 계산을 가능하게 한다.
• 단어 연산의 결과를 표현하는 인덱스 다항식을 제시하여 단어 수열의 대수적 처리를 가능하게 한다.
• 산술 연산에서 '0'을 항등원으로 사용하며, 단어로서의 '0'과 인덱스 산술에서의 기호적 영원소로 기능한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Motzkin 단어 집합에 대해 일관되게 전체 사전순 정렬을 정의할 수 있는가?
• RQ2 균형 잡힌 괄호 단어의 정렬된 수열에서 산술 및 논리 연산을 체계적으로 정의할 수 있는가?
• RQ3 이 산술 체계에서 단어 '0'은 수치적 영원소와 유사한 역할을 하는가?
• RQ4 Motzkin 단어의 연산을 표현하기 위해 인덱스 방정식과 인덱스 다항식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 Motzkin 단어와 같은 조합적 단어 구조에서 효율적인 탐색 및 계산을 가능하게 하는가?

주요 결과

• Motzkin 단어 집합에 대해 전체 사전순 정렬이 성공적으로 확립되었으며, 이를 Motzkin Row라 부르는 잘 순서가 매겨진 수열로 구성한다.
• Motzkin Row에서 산술 및 논리 연산이 정의되어 자연수에서의 연산과 유사한 연산이 가능하다.
• 단어 '0'은 이 시스템에서 항등원으로서의 역할을 하며, 단어로서의 '0'과 인덱스 산술에서의 기호적 영원소로 기능한다.
• 단어 연산을 인덱스 산술로 매핑하는 인덱스 방정식이 도출되어 문자열 조작 없이도 인덱스를 통한 계산이 가능하다.
• 단어 연산의 결과를 표현하는 인덱스 다항식이 제안되어 단어 산술을 위한 대수적 프레임워크를 제공한다.
• 이 프레임워크를 통해 수론적 및 조합적 도구를 활용하여 Motzkin 단어의 체계적 탐색 및 조작이 가능하다.